Dada a matruz A=(rrr4 & -5 & 1 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1) calcule a polinômio minımal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio minimal da matriz 4 & -5 & 1 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1 . O polinômio minimal é um polinômio de menor grau que, quando aplicado à matriz , resulta na matriz zero. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre polinômios característicos e como eles se relacionam com o polinômio minimal.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o polinômio característico de . Esse polinômio é encontrado usando a fórmula , onde é a matriz identidade e é uma variável escalar.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = 4 - lambda & -5 & 1 1 & -lambda & -1 0 & 1 & -1 - lambda :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (4 - lambda) cdot det -lambda & -1 1 & -1 - lambda - (-5) cdot det 1 & -1 0 & -1 - lambda + 1 cdot det 1 & -lambda 0 & 1

Passo 5

Calculando cada determinante menor:
  1. Para a primeira parte:
det -lambda & -1 1 & -1 - lambda = (-lambda)(-1 - lambda) - (-1)(1) = lambda (1 + lambda) + 1 = lambda + lambda^2 + 1
  1. Para a segunda parte:
det 1 & -1 0 & -1 - lambda = (1)(-1 - lambda) - (-1)(0) = -1 - lambda
  1. Para a terceira parte:
det 1 & -lambda 0 & 1 = (1)(1) - (-lambda)(0) = 1

Passo 6

Substituindo de volta na expressão do determinante:
det(A - lambda I) = (4 - lambda)(lambda + lambda^2 + 1) - (-5)(-1 - lambda) + 1 cdot 1
Simplificando:
= (4 - lambda)(lambda^2 + lambda + 1) - 5(1 + lambda) + 1

Passo 7

Vamos expandir 4(lambda^2 + lambda + 1) - lambda(lambda^2 + lambda + 1) = 4lambda^2 + 4lambda + 4 - lambda^3 - lambda^2 - lambda :
= -lambda^3 + 3lambda^2 + 3lambda + 4
Simplificando:
-lambda^3 + 3lambda^2 + 3lambda + 4 - 5 - 5lambda + 1 = -lambda^3 + 3lambda^2 - 2lambda
Agora, substituindo de volta:

Passo 8

Portanto, o polinômio característico é:
p(lambda) = -lambda^3 + 3lambda^2 - 2lambda
Podemos fatorar tirando - p(lambda) = -lambda(lambda^2 - 3lambda + 2) = -lambda(lambda - 1)(lambda - 2) em comum:

Passo 9

O polinômio minimal divide o polinômio característico e tem os mesmos fatores lineares, mas com multiplicidades mínimas necessárias para anular a matriz. Como não temos informações sobre a multiplicidade das raízes nos blocos de Jordan de , assumimos que o polinômio minimal é igual ao polinômio característico.

Resposta

O polinômio minimal da matriz é .

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