Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio minimal da matriz 4 & -5 & 1 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1 . O polinômio minimal é um polinômio de menor grau que, quando aplicado à matriz , resulta na matriz zero. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre polinômios característicos e como eles se relacionam com o polinômio minimal.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o polinômio característico de . Esse polinômio é encontrado usando a fórmula , onde é a matriz identidade e é uma variável escalar.
Passo 3
Vamos montar a matriz A - lambda I = 4 - lambda & -5 & 1 1 & -lambda & -1 0 & 1 & -1 - lambda :
O polinômio minimal divide o polinômio característico e tem os mesmos fatores lineares, mas com multiplicidades mínimas necessárias para anular a matriz. Como não temos informações sobre a multiplicidade das raízes nos blocos de Jordan de , assumimos que o polinômio minimal é igual ao polinômio característico.