Sejam A,B,C e D, nesta ordem, os vértices de um losango cujo lado mede 2 cm. Sendo de 30^circ o ângulo entre o lado AB e a diagonal maior AC, calcule:
|B A times B C| Resp:2 raiz3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um losango com vértices A, B, C e D, nessa ordem, e cada lado mede 2 cm. Sabemos que o ângulo entre o lado AB e a diagonal maior AC é de 30°. A tarefa é calcular o valor absoluto do produto vetorial entre os vetores BA e BC, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores, produto vetorial e propriedades dos losangos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar algumas propriedades do losango:
  • Todas as lados são congruentes, ou seja, têm o mesmo comprimento.
  • As diagonais se cortam perpendicularmente e bissetam-se mutuamente.
  • As diagonais dividem o losango em quatro triângulos congruentes.
Sabendo disso, podemos usar essas propriedades para determinar os vetores BA e BC.

Passo 3

Vamos definir uma posição para os vértices para facilitar os cálculos. Suponha que o ponto B esteja na origem (0,0). Como o losango tem lados de 2 cm, e o ângulo entre AB e a diagonal AC é de 30°, podemos determinar as coordenadas dos pontos A e C usando trigonometria.
Primeiro, a diagonal AC é a maior, então vamos chamar seu comprimento de . O ângulo entre AB e AC é de 30°, então podemos usar a lei dos cossenos ou a definição de componentes vetoriais para encontrar as coordenadas de A e C.

Passo 4

Considerando o ponto B na origem, o vetor BA terá direção oposta ao vetor AB. Se AB faz um ângulo de 30° com a diagonal AC, podemos decompor o vetor BA nas direções horizontal e vertical usando funções trigonométricas.
Vamos supor que a diagonal AC esteja alinhada ao eixo x para simplificar. Então, as coordenadas de A serão e as de C serão .

Passo 5

Agora, vamos determinar o vetor BA. Como B está na origem e A em BA = (-d1/2, 0) , o vetor BA será BC = (2 cos(30°), 2 sin(30°)) = (raiz3, 1) .
Para o vetor BC, precisamos considerar o ângulo de 30°. Como o lado AB faz 30° com a diagonal AC, podemos usar essa informação para encontrar as componentes de BC. Supondo que AB esteja inclinado a 30° acima do eixo x, o vetor BC terá componentes baseadas nesse ângulo.
Usando funções trigonométricas:

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto vetorial |BA times BC| = |a cdot d - b cdot c| . O produto vetorial de dois vetores |BA times BC| = |-d1/2 cdot 1 - 0 cdot raiz3| = |-d1/2| e |BA| cdot |BC| cdot sin(theta) no plano é dado por:
|BA| = 2 , cm, |BC| = 2 , cm
Substituindo os valores:
|BA times BC| = 2 cdot 2 cdot sin(30°) = 4 cdot 12 = 2
Como |BA times BC| = 2 cdot 2 cdot sin(60°) = 4 cdot raiz32 = 2raiz3 também pode ser expresso como:
Onde é o ângulo entre os vetores, que é 30°. Sabemos que:
Então:
Mas, de acordo com a representação inicial, aguardamos obter . Parece que houve uma simplificação excessiva. Na verdade, considerando a inclinação correta dos vetores:

Resposta

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Dada a matruz A=(rrr4 & -5 & 1 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1) calcule a polinômio minımal.
Seja V o conjunto de todos os pares ordenados (x, y), de componentes reais. Para u=(u1, u2), v=(v1, v2) in V e alpha número real, defina a operação de adição de u e v por u+v=(u1+v1+1, u2+v2+1) e alpha u=(alpha u1, alpha u2).
Para u=(2,4), v=(-1,-3) e alpha=2, calcule alpha u+v.
Verifique se as afirmativas abaixo são falsas ou verdadeiras, em caso de falso, justifique sua resposta.
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Dados os vetores u=(1,1,0) e v=(-1,1,2), determinar:
Um vetor de módulo 5 simultaneamente ortogonal a u e a v.
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