Sejam A,B,C e D, nesta ordem, os vértices de um losango cujo lado mede . Sendo de o ângulo entre o lado e a diagonal maior , calcule: Resp:2 raiz3
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um losango com vértices A, B, C e D, nessa ordem, e cada lado mede 2 cm. Sabemos que o ângulo entre o lado AB e a diagonal maior AC é de 30°. A tarefa é calcular o valor absoluto do produto vetorial entre os vetores BA e BC, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores, produto vetorial e propriedades dos losangos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar algumas propriedades do losango:
Todas as lados são congruentes, ou seja, têm o mesmo comprimento.
As diagonais se cortam perpendicularmente e bissetam-se mutuamente.
As diagonais dividem o losango em quatro triângulos congruentes.
Sabendo disso, podemos usar essas propriedades para determinar os vetores BA e BC.
Passo 3
Vamos definir uma posição para os vértices para facilitar os cálculos. Suponha que o ponto B esteja na origem (0,0). Como o losango tem lados de 2 cm, e o ângulo entre AB e a diagonal AC é de 30°, podemos determinar as coordenadas dos pontos A e C usando trigonometria.
Primeiro, a diagonal AC é a maior, então vamos chamar seu comprimento de . O ângulo entre AB e AC é de 30°, então podemos usar a lei dos cossenos ou a definição de componentes vetoriais para encontrar as coordenadas de A e C.
Passo 4
Considerando o ponto B na origem, o vetor BA terá direção oposta ao vetor AB. Se AB faz um ângulo de 30° com a diagonal AC, podemos decompor o vetor BA nas direções horizontal e vertical usando funções trigonométricas.
Vamos supor que a diagonal AC esteja alinhada ao eixo x para simplificar. Então, as coordenadas de A serão e as de C serão .
Passo 5
Agora, vamos determinar o vetor BA. Como B está na origem e A em BA = (-d1/2, 0) , o vetor BA será BC = (2 cos(30°), 2 sin(30°)) = (raiz3, 1) .
Para o vetor BC, precisamos considerar o ângulo de 30°. Como o lado AB faz 30° com a diagonal AC, podemos usar essa informação para encontrar as componentes de BC. Supondo que AB esteja inclinado a 30° acima do eixo x, o vetor BC terá componentes baseadas nesse ângulo.
Usando funções trigonométricas:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto vetorial |BA times BC| = |a cdot d - b cdot c| . O produto vetorial de dois vetores |BA times BC| = |-d1/2 cdot 1 - 0 cdot raiz3| = |-d1/2| e |BA| cdot |BC| cdot sin(theta) no plano é dado por:
Como |BA times BC| = 2 cdot 2 cdot sin(60°) = 4 cdot raiz32 = 2raiz3 também pode ser expresso como:
Onde é o ângulo entre os vetores, que é 30°. Sabemos que:
Então:
Mas, de acordo com a representação inicial, aguardamos obter . Parece que houve uma simplificação excessiva. Na verdade, considerando a inclinação correta dos vetores: