Verifique se as afirmativas abaixo são falsas ou verdadeiras, em caso de falso, justifique sua resposta.
Existe uma transformação linear que é sobrejetora
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se existe uma transformação linear que seja sobrejetora. Basicamente, queremos saber se dá pra mapear todos os vetores de para todos os polinômios de grau até 2 de forma que nenhum polinômio fique de fora.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os espaços envolvidos:
é o espaço tridimensional, com dimensão 3.
é o espaço dos polinômios de grau até 2, que também tem dimensão 3 (os polinômios são da forma ).
Passo 3
Sabemos que uma transformação linear entre dois espaços vetoriais é sobrejetora se cada elemento do espaço de chegada é a imagem de pelo menos um elemento do espaço de partida. Uma regra importante aqui é que se a dimensão do espaço de partida é igual ou maior que a do espaço de chegada, então é possível ter uma transformação sobrejetora.
Passo 4
No nosso caso, ambos os espaços têm dimensão 3. Isso significa que é possível construir uma transformação linear que cubra todo o espaço , ou seja, que seja sobrejetora.
Passo 5
Por exemplo, podemos definir uma transformação que mapeia os vetores de diretamente para os coeficientes dos polinômios em :
Essa transformação é linear e cobre todo o espaço dos polinômios de grau até 2.
Resposta
A afirmação é verdadeira: existe uma transformação linear que é sobrejetora.