Verifique se as afirmativas abaixo são falsas ou verdadeiras, em caso de falso, justifique sua resposta.
Existe uma transformação linear T: R^3 P2(R) que é sobrejetora

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se existe uma transformação linear que seja sobrejetora. Basicamente, queremos saber se dá pra mapear todos os vetores de para todos os polinômios de grau até 2 de forma que nenhum polinômio fique de fora.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os espaços envolvidos:
  • é o espaço tridimensional, com dimensão 3.
  • é o espaço dos polinômios de grau até 2, que também tem dimensão 3 (os polinômios são da forma ).

Passo 3

Sabemos que uma transformação linear entre dois espaços vetoriais é sobrejetora se cada elemento do espaço de chegada é a imagem de pelo menos um elemento do espaço de partida. Uma regra importante aqui é que se a dimensão do espaço de partida é igual ou maior que a do espaço de chegada, então é possível ter uma transformação sobrejetora.

Passo 4

No nosso caso, ambos os espaços têm dimensão 3. Isso significa que é possível construir uma transformação linear que cubra todo o espaço , ou seja, que seja sobrejetora.

Passo 5

Por exemplo, podemos definir uma transformação T a b c = a + bx + cx^2 que mapeia os vetores de diretamente para os coeficientes dos polinômios em :
Essa transformação é linear e cobre todo o espaço dos polinômios de grau até 2.

Resposta

A afirmação é verdadeira: existe uma transformação linear que é sobrejetora.

Exercícios relacionados

Sejam A,B,C e D, nesta ordem, os vértices de um losango cujo lado mede 2 cm. Sendo de 30^circ o ângulo entre o lado AB e a diagonal maior AC, calcule:
|B A times B C| Resp:2 raiz3
Dada a matruz A=(rrr4 & -5 & 1 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1) calcule a polinômio minımal.
Dados os vetores u=(1,1,0) e v=(-1,1,2), determinar:
Um vetor de módulo 5 simultaneamente ortogonal a u e a v.
Resp: (5raiz3,-5raiz3, 5raiz3) ou (-5raiz3, 5raiz3,-5raiz3)
Seja w in R^2 um vetor não nulo fixo. A projeção ortogonal de um vetor arbitrário u in R^2 na reta que contém o vetor w é dado por
projw u=lang<= u, wrang<=lang<= w, wrang<= w
A função F(u)=projw u é uma transformação linear? Justifique sua resposta.