Seja V o conjunto de todos os pares ordenados (x, y), de componentes reais. Para u=(u1, u2), v=(v1, v2) in V e alpha número real, defina a operação de adição de u e v por u+v=(u1+v1+1, u2+v2+1) e alpha u=(alpha u1, alpha u2).
Para u=(2,4), v=(-1,-3) e alpha=2, calcule alpha u+v.

Passo 1

Entendendo o problema:
Aqui, estamos trabalhando com pares ordenados que representam vetores no conjunto . A matéria envolvida é a Álgebra Linear, especificamente operações com vetores como adição e multiplicação por escalar. Para resolver o exercício, vamos precisar aplicar as regras de adição e multiplicação por escalar conforme definidas no enunciado.

Passo 2

Multiplicando o vetor alpha u = (alpha u1, alpha u2) por um escalar 2 cdot u = (2 cdot 2, 2 cdot 4) = (4, 8) :
A multiplicação por escalar é uma operação onde cada componente do vetor é multiplicado pelo número real . De acordo com o enunciado, a regra é:
Dado que e , vamos calcular:

Passo 3

Somando o vetor resultante com o vetor u + v = (u1 + v1 + 1, u2 + v2 + 1) :
A adição de vetores aqui não é a usual. Segundo o enunciado, a regra de adição é:
(4, 8) + (-1, -3) = (4 + (-1) + 1, 8 + (-3) + 1) = (4, 6)
Temos e . Vamos somar:

Resposta

A combinação resulta no par ordenado .

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