Dada a parábola de equação polar , calcular as coordenadas polares do vértice e a equação da diretriz.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação polar de uma parábola: . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas polares do vértice da parábola e a equação da diretriz. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria das cônicas em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação da parábola para identificar seus parâmetros. Podemos fatorar o denominador:
Sabemos que a forma geral de uma parábola em coordenadas polares com o foco na origem é:
onde é a excentricidade e é a distância focal. Para uma parábola, . Comparando com a nossa equação:
Portanto, . Como , temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas polares do vértice da parábola. O vértice ocorre onde a distância é mínima. Observando a equação:
Para minimizar , o denominador deve ser o maior possível. O máximo valor de ocorre quando é mínimo, ou seja, .
Assim, o ângulo no vértice é ou radianos. Calculando no vértice:
Portanto, as coordenadas polares do vértice são .
Passo 4
Agora, vamos determinar a equação da diretriz. Sabemos que, para uma parábola, a diretriz está a uma distância do foco, na direção oposta à abertura da parábola.
Como a parábola está definida com , ela se abre na direção de . Portanto, a diretriz estará na direção oposta, ou seja, (ou radianos).
A equação da diretriz em coordenadas polares para essa orientação é simplesmente:
Resposta
As coordenadas polares do vértice são e a equação da diretriz é .