Dada a parábola de equação polar , calcular as coordenadas polares do vértice e a equação da diretriz.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação polar de uma parábola: . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas polares do vértice da parábola e a equação da diretriz. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria das cônicas em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação da parábola para identificar seus parâmetros. Podemos fatorar o denominador:
Sabemos que a forma geral de uma parábola em coordenadas polares com o foco na origem é:
onde é a excentricidade e é a distância focal. Para uma parábola, . Comparando com a nossa equação:
Portanto, . Como , temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas polares do vértice da parábola. O vértice ocorre onde a distância é mínima. Observando a equação:
Para minimizar , o denominador deve ser o maior possível. O máximo valor de ocorre quando é mínimo, ou seja, .
Assim, o ângulo no vértice é ou radianos. Calculando no vértice:
Portanto, as coordenadas polares do vértice são .

Passo 4

Agora, vamos determinar a equação da diretriz. Sabemos que, para uma parábola, a diretriz está a uma distância do foco, na direção oposta à abertura da parábola.
Como a parábola está definida com , ela se abre na direção de . Portanto, a diretriz estará na direção oposta, ou seja, (ou radianos).
A equação da diretriz em coordenadas polares para essa orientação é simplesmente:

Resposta

As coordenadas polares do vértice são e a equação da diretriz é .

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Calcule , em função de :
(a)
Os vetores e formam um ângulo de . Sabe-se que e . Calcule e .
Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(n) ;
Sejam e três vetores linearmente indepententes em , seja um ponto de e seja . Considere os pontos de tais que
Determine de modo que os vetores e sejam linearmente dependentes.