Dada a parábola de equação polar
, calcular as coordenadas polares do vértice e a equação da diretriz.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação polar de uma parábola:
. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas polares do vértice da parábola e a equação da diretriz. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria das cônicas em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação da parábola para identificar seus parâmetros. Podemos fatorar o denominador:
Sabemos que a forma geral de uma parábola em coordenadas polares com o foco na origem é:
onde
é a excentricidade e
é a distância focal. Para uma parábola,
. Comparando com a nossa equação:
Portanto,
. Como
, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas polares do vértice da parábola. O vértice ocorre onde a distância
é mínima. Observando a equação:
Para minimizar
, o denominador
deve ser o maior possível. O máximo valor de
ocorre quando
é mínimo, ou seja,
.
Assim, o ângulo no vértice é
ou
radianos. Calculando
no vértice:
Portanto, as coordenadas polares do vértice são
.
Passo 4
Agora, vamos determinar a equação da diretriz. Sabemos que, para uma parábola, a diretriz está a uma distância
do foco, na direção oposta à abertura da parábola.
Como a parábola está definida com
, ela se abre na direção de
. Portanto, a diretriz estará na direção oposta, ou seja,
(ou
radianos).
A equação da diretriz em coordenadas polares para essa orientação é simplesmente:
Resposta
As coordenadas polares do vértice são
e a equação da diretriz é
.