Dada a parábola de equação polar rho=85-5 sen theta, calcular as coordenadas polares do vértice e a equação da diretriz.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação polar de uma parábola: . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas polares do vértice da parábola e a equação da diretriz. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria das cônicas em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação da parábola para identificar seus parâmetros. Podemos fatorar o denominador:
rho = 85(1 - sen theta) = 851 - sen theta
Sabemos que a forma geral de uma parábola em coordenadas polares com o foco na origem é:
rho = e p1 - e sen theta
onde e p1 - e sen theta = 851 - sen theta é a excentricidade e p = 85 é a distância focal. Para uma parábola, . Comparando com a nossa equação:
Portanto, . Como , temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas polares do vértice da parábola. O vértice ocorre onde a distância rho = 851 - sen theta é mínima. Observando a equação:
rhov = 851 - (-1) = 852 = 45
Para minimizar , o denominador deve ser o maior possível. O máximo valor de ocorre quando é mínimo, ou seja, .
Assim, o ângulo no vértice é ou radianos. Calculando no vértice:
Portanto, as coordenadas polares do vértice são .

Passo 4

Agora, vamos determinar a equação da diretriz. Sabemos que, para uma parábola, a diretriz está a uma distância theta = pi2 do foco, na direção oposta à abertura da parábola.
Como a parábola está definida com , ela se abre na direção de . Portanto, a diretriz estará na direção oposta, ou seja, (ou radianos).
A equação da diretriz em coordenadas polares para essa orientação é simplesmente:

Resposta

As coordenadas polares do vértice são e a equação da diretriz é .

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