Os vetores u e v formam um ângulo de 60^circ. Sabe-se que |u|=8 e |v|=5. Calcule |u+v| e |u-v|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, u e v, que formam um ângulo de 60^circ entre eles. Os comprimentos desses vetores são |u| = 8 e |v| = 5. Nosso objetivo é descobrir o comprimento de |u + v| e de |u - v|. Para isso, vamos usar um pouco de trigonometria e as fórmulas para a soma e a diferença de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento da soma de dois vetores. A fórmula é:
|u + v| = raiz|u|^2 + |v|^2 + 2,|u|,|v|,cos(theta)
Onde theta é o ângulo entre os vetores. Essa fórmula vem da lei dos cossenos, que relaciona os lados de um triângulo com o cosseno do ângulo entre eles.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula com os valores que temos:
|u + v| = raiz8^2 + 5^2 + 2 times 8 times 5 times cos(60^circ)
Sabemos que cos(60^circ) = 0,5, então:
|u + v| = raiz64 + 25 + 80 times 0,5 = raiz64 + 25 + 40 = raiz129 approx 11,36

Passo 4

Agora, vamos calcular o comprimento da diferença dos vetores, |u - v|. A fórmula é semelhante:
|u - v| = raiz|u|^2 + |v|^2 - 2,|u|,|v|,cos(theta)
Também usamos a lei dos cossenos, mas dessa vez subtraímos o termo que envolve o cosseno.

Passo 5

Aplicando os valores na fórmula:
|u - v| = raiz8^2 + 5^2 - 2 times 8 times 5 times cos(60^circ)
Substituindo cos(60^circ) = 0,5:
|u - v| = raiz64 + 25 - 80 times 0,5 = raiz64 + 25 - 40 = raiz49 = 7

Resposta

|u + v| approx 11,36 e |u - v| = 7

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