Dada a parábola de equação x^2+6 x-6 y+12=0, determine:
as coordenadas do vértice e do foco;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma parábola com a equação e precisa descobrir as coordenadas do vértice e do foco dela. Para isso, vamos usar o conteúdo de geometria analítica, especificamente sobre parábolas. Vamos precisar completar o quadrado para colocar a equação nessa forma que facilita achar o vértice e o foco.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar o trabalho. Vamos isolar os termos que envolvem x^2 + 6x = 6y - 12 de um lado e os demais do outro:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de (62)^2 = 9 . Completar o quadrado ajuda a transformar a expressão quadrática em uma forma que revela diretamente o vértice da parábola. Para isso, pegamos o coeficiente de x^2 + 6x + 9 - 9 = 6y - 12 , que é 6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(x + 3)^2 - 9 = 6y - 12
A gente adiciona e subtrai esse valor na equação:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos isolar o (x + 3)^2 = 6y - 3 para deixar a equação na forma padrão da parábola. Acrescentamos 9 aos dois lados:
y = 16(x + 3)^2 + 12
E então dividimos por 6:
Essa é a forma padrão da equação da parábola, que nos mostra que o vértice está no ponto .

Passo 5

Para encontrar o foco, usamos a propriedade de que o foco está a uma distância 14a = 14 times 16 = 64 = 32 do vértice, onde yfoco = 12 + 32 = 2 é o coeficiente que está multiplicando o termo quadrático. No nosso caso, , então:
Como a parábola abre para cima (porque o coeficiente de é positivo), o foco está acima do vértice nessa distância. Então, somamos à coordenada do vértice:
Portanto, as coordenadas do foco são .

Resposta

O vértice da parábola está no ponto e o foco está no ponto .

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