Dada a parábola de equação
, determine:
as coordenadas do vértice e do foco;
as coordenadas do vértice e do foco;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma parábola com a equação
e precisa descobrir as coordenadas do vértice e do foco dela. Para isso, vamos usar o conteúdo de geometria analítica, especificamente sobre parábolas. Vamos precisar completar o quadrado para colocar a equação nessa forma que facilita achar o vértice e o foco.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar o trabalho. Vamos isolar os termos que envolvem
de um lado e os demais do outro:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Completar o quadrado ajuda a transformar a expressão quadrática em uma forma que revela diretamente o vértice da parábola. Para isso, pegamos o coeficiente de
, que é 6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
A gente adiciona e subtrai esse valor na equação:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos isolar o
para deixar a equação na forma padrão da parábola. Acrescentamos 9 aos dois lados:
E então dividimos por 6:
Essa é a forma padrão da equação da parábola, que nos mostra que o vértice está no ponto
.
Passo 5
Para encontrar o foco, usamos a propriedade de que o foco está a uma distância
do vértice, onde
é o coeficiente que está multiplicando o termo quadrático. No nosso caso,
, então:
Como a parábola abre para cima (porque o coeficiente de
é positivo), o foco está acima do vértice nessa distância. Então, somamos
à coordenada
do vértice:
Portanto, as coordenadas do foco são
.
Resposta
O vértice da parábola está no ponto
e o foco está no ponto
.