Obtenha as equações do plano que contém o ponto e é paralelo ao plano
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto pi: x = 1 + m + 2n y = 2m - 3n z = 3 - m + 4n e é paralelo a outro plano dado pelas equações paramétricas:
Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre vetores direcionais e vetores normais de um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores direcionais do plano u = 1 2 -1 e v = 2 -3 4 . Nas equações paramétricas do plano, e são os parâmetros, e os coeficientes desses parâmetros nos dão os vetores direcionais.
Então, temos:
Esses vetores são paralelos ao plano .
Passo 3
Agora, para achar a equação do plano paralelo a n = i & j & k 1 & 2 & -1 2 & -3 & 4 = i(2 cdot 4 - (-1)(-3)) - j(1 cdot 4 - (-1)(2)) + k(1 cdot (-3) - 2 cdot 2) , precisamos do vetor normal desse plano. O vetor normal é perpendicular ao plano e pode ser encontrado pelo produto vetorial dos vetores direcionais n = i(8 - 3) - j(4 - (-2)) + k(-3 - 4) e n = 5i - 6j -7k .
Vamos calcular o produto vetorial :
Então, o vetor normal é .
Passo 4
Agora que temos o vetor normal do plano paralelo, podemos usar a equação geral do plano, que é:
5(x - x0) - 6(y - y0) - 7(z - z0) = 0
Aqui, é um ponto que pertence ao plano. No nosso caso, é o ponto .
Passo 5
Substituindo as coordenadas de 5(x - 1) - 6(y - 1) -7(z - 2) = 0 na equação:
5x - 5 - 6y + 6 -7z + 14 = 0
Agora, vamos distribuir e simplificar:
5x - 6y -7z + ( -5 + 6 +14 ) = 0
5x -6y -7z +15 = 0
Resposta
A equação do plano que contém o ponto 5x - 6y - 7z + 15 = 0 e é paralelo ao plano é: