Determine uma equação cartesiana para as retas (em R^2) : Que passa por (1,2) e (5,-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação de uma reta no plano cartesiano R^2 que passa pelos pontos (1,2) e (5,-1). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente como determinar a equação de uma reta a partir de dois pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a inclinação (ou coeficiente angular) da reta. A inclinação indica o quanto a reta sobe ou desce quando nos movemos ao longo do eixo x. A fórmula para calcular a inclinação entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
m = y2 - y1x2 - x1

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula aos pontos que temos: (1,2) e (5,-1). Substituindo na fórmula:
m = -1 - 25 - 1 = -34
Então, a inclinação da reta é m = -34.

Passo 4

Agora que temos a inclinação, podemos usar a forma da equação da reta que passa por um ponto específico. A forma ponto-inclinação é:
y - y1 = m(x - x1)
Vamos usar o ponto (1,2) para substituir na equação.

Passo 5

Substituindo os valores na equação ponto-inclinação:
y - 2 = -34(x - 1)
Agora, vamos simplificar essa equação para colocá-la na forma mais comum, a forma geral Ax + By + C = 0.

Passo 6

Distribuindo o 34:
y - 2 = -34x + 34
Agora, vamos isolar os termos:
y = -34x + 34 + 2
Somando 34 + 2:
y = -34x + 114

Passo 7

Se preferirmos a forma geral, multiplicamos todos os termos por 4 para eliminar o denominador:
4y = -3x + 11
Rearranjando para a forma Ax + By + C = 0:
3x + 4y - 11 = 0

Resposta

A equação cartesiana da reta que passa pelos pontos (1,2) e (5,-1) é:
3x + 4y - 11 = 0

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