Dada a parábola de equação
, determinar sua equação reduzida;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação de uma parábola:
. Nosso objetivo aqui é encontrar a equação reduzida dessa parábola. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente as técnicas de completar o quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a resolução. Vamos isolar os termos que contêm
de um lado e os demais termos do outro:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado na parte que envolve
. Isso ajuda a transformar a equação em uma forma mais simples e reconhecível. Para completar o quadrado em
, a gente faz o seguinte:
- Pega o coeficiente do termo linear (
), divide por e eleva ao quadrado: . - Adiciona esse número em ambos os lados da equação:
Isso simplifica para:
Passo 4
Vamos reorganizar novamente para chegar à forma padrão da equação da parábola. Queremos isolar
:
Resposta
A equação reduzida da parábola é:
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Identificar e descrever as superfícies de equações dadas.
Seja
uma transformação linear. Se existe um vetor
tal que
(vetor nulo de
), podemos concluir então que
(vetor nulo de
)? Justifique se for verdade ou apresente um contra-exemplo se for falso.
Nos exercícios
, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente.
.
Determine o vetor
, tal que