Dada a parábola de equação y^2+6 y-8 x+17=0, determinar sua equação reduzida;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação de uma parábola: y^2 + 6y - 8x + 17 = 0. Nosso objetivo aqui é encontrar a equação reduzida dessa parábola. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente as técnicas de completar o quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a resolução. Vamos isolar os termos que contêm y de um lado e os demais termos do outro:
y^2 + 6y = 8x - 17

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado na parte que envolve y. Isso ajuda a transformar a equação em uma forma mais simples e reconhecível. Para completar o quadrado em y^2 + 6y, a gente faz o seguinte:
  1. Pega o coeficiente do termo linear ( 6), divide por 2 e eleva ao quadrado: (62)^2 = 9.
  2. Adiciona esse número em ambos os lados da equação:
y^2 + 6y + 9 = 8x - 17 + 9
Isso simplifica para:
(y + 3)^2 = 8x - 8

Passo 4

Vamos reorganizar novamente para chegar à forma padrão da equação da parábola. Queremos isolar x:
(y + 3)^2 = 8(x - 1)

Resposta

A equação reduzida da parábola é:
(y + 3)^2 = 8(x - 1)

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