Nos exercícios , determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o polinômio característico do operador linear dado, além de descobrir os autovalores, autovetores e uma base para cada autoespaço correspondente. Estamos trabalhando com o operador , que transforma um polinômio da forma:
Para resolver isso, vamos precisar entender operadores lineares, matrizes associadas a operadores em uma base específica, e como encontrar autovalores e autovetores usando o polinômio característico.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma base para o espaço . Uma base padrão é . Isso significa que qualquer polinômio de grau até 3 pode ser escrito como combinação linear desses quatro polinômios.
Em seguida, precisamos representar o operador como uma matriz em relação a essa base. Para isso, aplicamos a cada um dos vetores da base e escrevemos o resultado em termos da base escolhida.
Passo 3
Vamos aplicar a cada elemento da base:
Observe que, para , temos um termo , mas como estamos em , podemos ignorar ou ajustar esse termo conforme necessário. No entanto, para simplicidade, consideraremos apenas os termos até .
Passo 4
Agora, expressamos cada resultado em termos da base :
Passo 5
Com isso, podemos montar a matriz de em relação à base escolhida:
Cada coluna representa a transformação de um dos vetores da base.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o polinômio característico dessa matriz. O polinômio característico é dado por [T] - lambda I = -lambda & 1 & 0 & 0 0 & -2 - lambda & 2 & 0 0 & -1 & -4 - lambda & 3 0 & 0 & -2 & -6 - lambda , onde é a matriz identidade e é um escalar.
Continuando o cálculo, encontramos o polinômio característico:
lambda (lambda + 2)(lambda + 4)(lambda + 6) = 0
Passo 8
Os autovalores são os valores de lambda1 = 0, lambda2 = -2, lambda3 = -4, lambda4 = -6 que satisfazem . Então, os autovalores são:
Passo 9
Agora, para cada autovalor, vamos encontrar os autovetores (ou autopolínios) que satisfazem [T] v = 0 . Isso implica resolver para cada .
Por exemplo, para :
Resolvendo esse sistema, encontramos os autovetores correspondentes.
Passo 10
Após resolver os sistemas para cada autovalor, obtemos os autovetores e, consequentemente, os autoespaços. A dimensão de cada autoespaço é igual à multiplicidade do autovalor.
Resposta
Os autovalores do operador são , , e . Para cada autovalor, existe um autovetor correspondente, e cada autoespaço tem dimensão 1. Assim, a base de cada autoespaço é composta pelos respectivos autovetores associados a cada autovalor.