Seja
uma transformação linear. Se existe um vetor
tal que
(vetor nulo de
), podemos concluir então que
(vetor nulo de
)? Justifique se for verdade ou apresente um contra-exemplo se for falso.
Passo 1
Vamos lá! O exercício nos pede para analisar uma transformação linear
. Basicamente, a questão quer saber se, se existe um vetor
em
que
(o vetor nulo em
), isso implica que
também deve ser o vetor nulo em
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e o conceito de injetividade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear
tem a propriedade de que
para quaisquer vetores
em
e escalares
. Agora, se
, queremos saber se isso significa necessariamente que
.
Passo 3
Essa questão está relacionada ao conceito de injeção (ou mapeamento injetivo). Uma transformação linear é injetiva se, somente se
implica que
. Em outras palavras, para uma transformação ser injetiva, o núcleo (ou kernel) de
, que é o conjunto de todos os vetores que mapeiam para o zero, deve conter apenas o vetor zero.
Passo 4
No entanto, nem toda transformação linear é injetiva. Se o kernel de
contém outros vetores além do vetor zero, então a transformação não é injetiva, e existem vetores não nulos em
que são mapeados para o vetor zero em
.
Passo 5
Vamos dar um exemplo para esclarecer isso. Considere as seguintes transformações:
- Seja
. - Defina
por .
Essa transformação projeta qualquer vetor da forma
para
. Agora, observe o que acontece com o vetor
:
Aqui,
, mas claramente
. Portanto, encontramos um vetor não nulo
em
que é mapeado para o vetor zero em
.
Resposta
Não, não podemos concluir que
. A existência de um vetor não nulo
tal que
mostra que a transformação
não é injetiva. O exemplo dado com
ilustra isso claramente.
Exercícios relacionados
Nos exercícios
, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente.
.
Identificar e descrever as superfícies de equações dadas.
Identificar e descrever as superfícies de equações dadas.
Dada a parábola de equação
, determinar sua equação reduzida;