Seja T: V W uma transformação linear. Se existe um vetor u in V tal que T(u)=0 (vetor nulo de W ), podemos concluir então que u=0 (vetor nulo de V )? Justifique se for verdade ou apresente um contra-exemplo se for falso.

Passo 1

Vamos lá! O exercício nos pede para analisar uma transformação linear . Basicamente, a questão quer saber se, se existe um vetor em que (o vetor nulo em ), isso implica que também deve ser o vetor nulo em . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e o conceito de injetividade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear tem a propriedade de que para quaisquer vetores em e escalares . Agora, se , queremos saber se isso significa necessariamente que .

Passo 3

Essa questão está relacionada ao conceito de injeção (ou mapeamento injetivo). Uma transformação linear é injetiva se, somente se implica que . Em outras palavras, para uma transformação ser injetiva, o núcleo (ou kernel) de , que é o conjunto de todos os vetores que mapeiam para o zero, deve conter apenas o vetor zero.

Passo 4

No entanto, nem toda transformação linear é injetiva. Se o kernel de contém outros vetores além do vetor zero, então a transformação não é injetiva, e existem vetores não nulos em que são mapeados para o vetor zero em .

Passo 5

Vamos dar um exemplo para esclarecer isso. Considere as seguintes transformações:
  • Seja T(0, 1) = (0, 0) .
  • Defina por .
Essa transformação projeta qualquer vetor da forma para . Agora, observe o que acontece com o vetor :
Aqui, , mas claramente . Portanto, encontramos um vetor não nulo em que é mapeado para o vetor zero em .

Resposta

Não, não podemos concluir que . A existência de um vetor não nulo tal que mostra que a transformação não é injetiva. O exemplo dado com ilustra isso claramente.

Exercícios relacionados

Nos exercícios 01 1 4, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. T: R^4 R^4, T(x, y, z, t)=(x, x+y, x+y+z, x+y+z+t).
Identificar e descrever as superfícies de equações dadas. 4 x^2-2 y^2+z^2-24 x-4 y+8 z+42=0
Identificar e descrever as superfícies de equações dadas. x^2-4 x-z+6=0
Dada a parábola de equação y^2+6 y-8 x+17=0, determinar sua equação reduzida;