Identificar e descrever as superfícies de equações dadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar e descrever a superfície definida pela equação
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre superfícies quadráticas. Vamos resolver passo a passo para entender melhor o que essa equação representa no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a identificação da superfície. A equação dada é:
Nosso objetivo é isolar o termo
para deixar a equação na forma
. Vamos reorganizar os termos:
Passo 3
Agora, observamos que a equação
envolve apenas as variáveis
e
, ou seja, não há termo com
. Isso indica que a superfície é independente de
, o que significa que ela se estende indefinidamente ao longo do eixo
.
Passo 4
Para entender melhor a forma da superfície, vamos completar o quadrado na expressão de
:
Então, a equação pode ser escrita como:
Isso mostra que, para cada valor de
, a superfície forma uma parábola no plano
, com vértice em
.
Passo 5
Como a equação é independente de
, a superfície inteira é formada pela repetição dessa parábola ao longo do eixo
. Portanto, estamos lidando com um cilindro parabólico, onde a seção transversal é uma parábola e a extensão é ao longo de uma direção (neste caso, o eixo
).
Resposta
A superfície definida pela equação
é um cilindro parabólico que possui parábolas de equação
repetidas ao longo do eixo
.
Exercícios relacionados
Seja
uma transformação linear. Se existe um vetor
tal que
(vetor nulo de
), podemos concluir então que
(vetor nulo de
)? Justifique se for verdade ou apresente um contra-exemplo se for falso.
Nos exercícios
, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente.
.
Dada a parábola de equação
, determinar sua equação reduzida;
Nos exercícios
, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente.
.