Dada a parábola de equação y^2+6 y-8 x+17=0, determinar o foco e uma equaçāo da diretriz;

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma parábola com a equação y^2 + 6y - 8x + 17 = 0. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o foco dessa parábola e também a equação da diretriz. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente o estudo das parábolas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos arrumar a equação para deixá-la na forma padrão da parábola. Observando a equação y^2 + 6y - 8x + 17 = 0, a gente pode reorganizar os termos para facilitar:
y^2 + 6y = 8x - 17

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos que envolvem o y. Isso vai nos ajudar a identificar o vértice da parábola.
y^2 + 6y + 9 = 8x - 17 + 9
Isso fica:
(y + 3)^2 = 8x - 8

Passo 4

Simplificando a equação:
(y + 3)^2 = 8(x - 1)
Agora, a gente tem a equação na forma padrão da parábola horizontal:
(y - k)^2 = 4p(x - h)
Comparando com o que temos:
k = -3, h = 1, e 4p = 8.

Passo 5

Vamos encontrar o valor de p:
4p = 8 Rightarrow p = 2
Esse valor de p nos diz a distância do vértice ao foco e à diretriz.

Passo 6

O vértice da parábola é (h, k) = (1, -3).
Como a parábola é horizontal e abre para a direita (porque p é positivo), o foco fica a uma distância p à direita do vértice.
Então, as coordenadas do foco são:
(h + p, k) = (1 + 2, -3) = (3, -3)

Passo 7

A diretriz é uma linha vertical que fica a uma distância p oposta ao foco em relação ao vértice.
Então, a equação da diretriz é:
x = h - p = 1 - 2 = -1

Resposta

O foco da parábola é (3, -3) e a equação da diretriz é x = -1.

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