Dada a parábola de equação , determinar o foco e uma equaçāo da diretriz;

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma parábola com a equação . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o foco dessa parábola e também a equação da diretriz. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente o estudo das parábolas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos arrumar a equação para deixá-la na forma padrão da parábola. Observando a equação , a gente pode reorganizar os termos para facilitar:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos que envolvem o . Isso vai nos ajudar a identificar o vértice da parábola.
Isso fica:

Passo 4

Simplificando a equação:
Agora, a gente tem a equação na forma padrão da parábola horizontal:
Comparando com o que temos:
, , e .

Passo 5

Vamos encontrar o valor de :
Esse valor de nos diz a distância do vértice ao foco e à diretriz.

Passo 6

O vértice da parábola é .
Como a parábola é horizontal e abre para a direita (porque é positivo), o foco fica a uma distância à direita do vértice.
Então, as coordenadas do foco são:

Passo 7

A diretriz é uma linha vertical que fica a uma distância oposta ao foco em relação ao vértice.
Então, a equação da diretriz é:

Resposta

O foco da parábola é e a equação da diretriz é .

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