Sejam os vetores e .
(a) Escreva, se possível, o vetor como combinação linear dos vetores e .
(b) Escreva, se possível, o vetor como combinação linear dos vetores e .
© Determine os vetores do que podem ser escritos como combinação linear dos vetores e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve combinações lineares de vetores no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como expressar um vetor como combinação de outros vetores, o que envolve resolver um sistema de equações. Vamos lá!

Parte (a)

Passo 2

Primeiro, queremos escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores e . Isso significa que queremos encontrar escalares e tais que:

Passo 3

Vamos montar as equações para cada componente:

Passo 4

Resolvendo a primeira equação:

Passo 5

Substituindo na terceira equação:

Passo 6

Vamos verificar na segunda equação:
Está tudo certo!

Parte (b)

Passo 7

Agora, queremos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores e . Ou seja, encontrar escalares e tais que:

Passo 8

Montando as equações para cada componente:

Passo 9

Resolvendo a primeira equação:

Passo 10

Resolvendo a terceira equação:

Passo 11

Verificando na segunda equação:
Como não bate, não é possível expressar como combinação linear de e .

Parte ©

Passo 12

Queremos determinar todos os vetores em que podem ser escritos como combinação linear dos vetores e . Isso significa que queremos saber o espaço gerado por esses vetores.

Passo 13

Vamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Se forem, eles irão gerar todo o espaço .

Passo 14

Montamos a matriz com esses vetores como colunas:

Passo 15

Calculamos o determinante de :

Passo 16

Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram todo o espaço . Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como combinação linear de e .

Resposta

(a) Sim, .
(b) Não é possível expressar como combinação linear de e .
© Todos os vetores em podem ser escritos como combinação linear dos vetores e .

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