Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve combinações lineares de vetores no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como expressar um vetor como combinação de outros vetores, o que envolve resolver um sistema de equações. Vamos lá!
Parte (a)
Passo 2
Primeiro, queremos escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores e . Isso significa que queremos encontrar escalares e tais que:
Passo 3
Vamos montar as equações para cada componente:
Passo 4
Resolvendo a primeira equação:
Passo 5
Substituindo na terceira equação:
Passo 6
Vamos verificar na segunda equação:
Está tudo certo!
Parte (b)
Passo 7
Agora, queremos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores e . Ou seja, encontrar escalares e tais que:
Passo 8
Montando as equações para cada componente:
Passo 9
Resolvendo a primeira equação:
Passo 10
Resolvendo a terceira equação:
Passo 11
Verificando na segunda equação:
Como não bate, não é possível expressar como combinação linear de e .
Queremos determinar todos os vetores em que podem ser escritos como combinação linear dos vetores e . Isso significa que queremos saber o espaço gerado por esses vetores.
Passo 13
Vamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Se forem, eles irão gerar todo o espaço .
Passo 14
Montamos a matriz com esses vetores como colunas:
Passo 15
Calculamos o determinante de :
Passo 16
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram todo o espaço . Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como combinação linear de e .
Resposta
(a) Sim, .
(b) Não é possível expressar como combinação linear de e .