Sejam os vetores v1=(2,-1,2), v2=(0,3,-2) e v3=(4,2,0).
(a) Escreva, se possível, o vetor v=(2,5,-2) como combinação linear dos vetores v1 e v2.
(b) Escreva, se possível, o vetor v1 como combinação linear dos vetores v2 e v3.
© Determine os vetores do R^3 que podem ser escritos como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve combinações lineares de vetores no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como expressar um vetor como combinação de outros vetores, o que envolve resolver um sistema de equações. Vamos lá!

Parte (a)

Passo 2

Primeiro, queremos escrever o vetor v = a cdot v1 + b cdot v2 como uma combinação linear dos vetores e . Isso significa que queremos encontrar escalares e tais que:

Passo 3

Vamos montar as equações para cada componente:
2a + 0b = 2 -1a + 3b = 5 2a - 2b = -2

Passo 4

Resolvendo a primeira equação:
2a = 2 Rightarrow a = 1

Passo 5

Substituindo 2(1) - 2b = -2 Rightarrow 2 - 2b = -2 Rightarrow -2b = -4 Rightarrow b = 2 na terceira equação:

Passo 6

Vamos verificar na segunda equação:
-1(1) + 3(2) = -1 + 6 = 5
Está tudo certo!

Parte (b)

Passo 7

Agora, queremos expressar o vetor v1 = c cdot v2 + d cdot v3 como uma combinação linear dos vetores e . Ou seja, encontrar escalares e tais que:

Passo 8

Montando as equações para cada componente:
0c + 4d = 2 3c + 2d = -1 -2c + 0d = 2

Passo 9

Resolvendo a primeira equação:
4d = 2 Rightarrow d = 0,5

Passo 10

Resolvendo a terceira equação:
-2c = 2 Rightarrow c = -1

Passo 11

Verificando na segunda equação:
3(-1) + 2(0,5) = -3 + 1 = -2 neq -1
Como não bate, não é possível expressar como combinação linear de e .

Parte ©

Passo 12

Queremos determinar todos os vetores em que podem ser escritos como combinação linear dos vetores e . Isso significa que queremos saber o espaço gerado por esses vetores.

Passo 13

Vamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Se forem, eles irão gerar todo o espaço .

Passo 14

Montamos a matriz com esses vetores como colunas:
A = 2 & 0 & 4 -1 & 3 & 2 2 & -2 & 0

Passo 15

Calculamos o determinante de det(A) = 2(3 cdot 0 - 2 cdot (-2)) - 0(-1 cdot 0 - 2 cdot 2) + 4(-1 cdot (-2) - 3 cdot 2) = 2(0 + 4) - 0(0 - 4) + 4(2 - 6) = 8 + 0 - 16 = -8 neq 0 :

Passo 16

Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram todo o espaço . Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como combinação linear de e .

Resposta

(a) Sim, .
(b) Não é possível expressar como combinação linear de e .
© Todos os vetores em podem ser escritos como combinação linear dos vetores e .

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