Estabelecer as equaçōes paramétricas da reta que passa pelo ponto de interseção das retas
e é, ao mesmo tempo, ortogonal a e .
Passo 1
Então, temos um exercício onde precisamos encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto de interseção das retas e , e que também é perpendicular a ambas. Vamos usar conceitos de geometria analítica, como encontrar pontos de interseção e vetores diretores, além de entender como determinar a perpendicularidade entre retas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção das retas e . Para isso, precisamos expressar as equações das retas de forma que possamos igualar os parâmetros e encontrar os valores de , e que satisfazem ambas as retas.
A reta está na forma simétrica:
Podemos parametrizar usando um parâmetro :
A reta está definida por:
Podemos também expressar em termos de (vamos usar como parâmetro):
Para encontrar o ponto de interseção, igualamos as coordenadas de e :
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de -1 + 2t = y Rightarrow y = -1 + 2t e 2 + t = 1 - (-1 + 2t) 2 + t = 1 + 1 - 2t 2 + t = 2 - 2t t + 2t = 2 - 2 3t = 0 t = 0 .
Da segunda equação:
y = -1 + 2(0) = -1
Substituímos 3(0) = 2 + 2(-1) 0 = 2 - 2 0 = 0 na primeira equação:
x = 2 + 0 = 2 y = -1 z = 3 times 0 = 0
Agora, substituímos na expressão de :
E na terceira equação:
Confirmando que os valores estão corretos.
Então, o ponto de interseção é:
Portanto, o ponto de interseção é .
Passo 4
Agora, vamos encontrar os vetores diretores das retas x = 2 + t y = -1 + 2t z = 3t e 1 2 3 .
Para a reta x = 1 - y y = y z = 2 + 2y , a parametrização é:
x = 1 - s y = s z = 2 + 2s
O vetor diretor de -1 1 2 é .
Para a reta , a parametrização é:
Podemos considerar como parâmetro :
O vetor diretor de é .
Passo 5
Queremos encontrar um vetor diretor v = vr times vs da reta que é perpendicular a ambas v = i & j & k 1 & 2 & 3 -1 & 1 & 2 = i(2 times 2 - 3 times 1) - j(1 times 2 - 3 times (-1)) + k(1 times 1 - 2 times (-1)) e v = i(4 - 3) - j(2 + 3) + k(1 + 2) v = i(1) - j(5) + k(3) v = 1 -5 3 . Para isso, usamos o produto vetorial:
Calculando o produto vetorial:
Passo 6
Agora que temos o ponto 1 -5 3 e o vetor diretor x = 2 + t y = -1 - 5t z = 0 + 3t , podemos escrever as equações paramétricas da reta desejada.