Estabelecer as equaçōes paramétricas da reta que passa pelo ponto de interseção das retas
e é, ao mesmo tempo, ortogonal a e .

Passo 1

Então, temos um exercício onde precisamos encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto de interseção das retas e , e que também é perpendicular a ambas. Vamos usar conceitos de geometria analítica, como encontrar pontos de interseção e vetores diretores, além de entender como determinar a perpendicularidade entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção das retas e . Para isso, precisamos expressar as equações das retas de forma que possamos igualar os parâmetros e encontrar os valores de , e que satisfazem ambas as retas.
A reta está na forma simétrica:
Podemos parametrizar usando um parâmetro :
A reta está definida por:
Podemos também expressar em termos de (vamos usar como parâmetro):
Para encontrar o ponto de interseção, igualamos as coordenadas de e :

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de e .
Da segunda equação:
Substituímos na primeira equação:
Agora, substituímos na expressão de :
E na terceira equação:
Confirmando que os valores estão corretos.
Então, o ponto de interseção é:
Portanto, o ponto de interseção é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os vetores diretores das retas e .
Para a reta , a parametrização é:
O vetor diretor de é .
Para a reta , a parametrização é:
Podemos considerar como parâmetro :
O vetor diretor de é .

Passo 5

Queremos encontrar um vetor diretor da reta que é perpendicular a ambas e . Para isso, usamos o produto vetorial:
Calculando o produto vetorial:

Passo 6

Agora que temos o ponto e o vetor diretor , podemos escrever as equações paramétricas da reta desejada.
As equações paramétricas são:

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
onde é o parâmetro real.

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Resolva pela regra de Cramer e da Inversa os sistemas de equações abaixo:
Sejam os vetores e .
(a) Escreva, se possível, o vetor como combinação linear dos vetores e .
(b) Escreva, se possível, o vetor como combinação linear dos vetores e .
© Determine os vetores do que podem ser escritos como combinação linear dos vetores e .