Dada a parábola de equação y=-x^2+4 x+5, determinar:
o foco;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação de uma parábola: . Nosso objetivo aqui é encontrar o foco dessa parábola. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a forma padrão da equação de uma parábola e como identificar o foco a partir daí.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da parábola na forma canônica. A forma canônica de uma parábola vertical é , onde é o vértice da parábola e determina a abertura.

Passo 3

Vamos reescrever a equação dada para encaixar nela. Começamos agrupando os termos que envolvem y = -x^2 + 4x + 5 = - (x^2 - 4x) + 5 :

Passo 4

Agora, precisamos completar o quadrado dentro dos parênteses para transformar ( -42 )^2 = (-2)^2 = 4 em um quadrado perfeito. Para isso, pegamos o coeficiente de , que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:

Passo 5

Adicionamos e subtraímos esse valor dentro dos parênteses:
y = - (x^2 - 4x + 4 - 4) + 5 = - (x - 2)^2 + 4 + 5 = - (x - 2)^2 + 9
Agora, nossa equação está na forma canônica: .

Passo 6

Identificamos os valores de e da forma canônica. Aqui, e . Então, o vértice da parábola é .

Passo 7

Para encontrar o foco da parábola, usamos a fórmula:
Foco: ( h, k + 14a )
Aqui, é o coeficiente que está multiplicando o quadrado, que no nosso caso é .

Passo 8

Substituindo os valores na fórmula do foco:
Foco: ( 2, 9 + 14 times (-1) ) = ( 2, 9 - 14 ) = ( 2, 354 ) = (2, 8,75)

Resposta

O foco da parábola é .

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Dada a parábola de equação y=-x^2+4 x+5, determinar:
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10=0
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