Determine todos os valores para h de forma que v1, v2, v3 sejam l.d., nos casos a seguir:
(b) v1=(3,-6,1), v2=(-6,4,-3), v3=(9, h, 3);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar todos os valores de que fazem com que os vetores , e sejam linearmente dependentes. Isso está relacionado à álgebra linear, especificamente ao conceito de dependência linear. Para resolver isso, vamos usar o determinante da matriz formada por esses vetores – se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz com os vetores A = 3 & -6 & 9 -6 & 4 & h 1 & -3 & 3 , e como colunas:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser encontrado usando a regra de Sarrus ou a fórmula de expansão. Vamos usar a fórmula de expansão:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
Onde os elementos da matriz são:
det(A) = 3 cdot (4 cdot 3 - h cdot (-3)) - (-6) cdot (-6 cdot 3 - h cdot 1) + 9 cdot (-6 cdot (-3) - 4 cdot 1)
Aplicando isso à nossa matriz:

Passo 4

Vamos simplificar cada parte:
  1. Primeiro termo:
3 cdot (12 + 3h) = 3 cdot 12 + 3 cdot 3h = 36 + 9h
  1. Segundo termo:
-(-6) cdot (-18 - h) = 6 cdot (-18 - h) = -108 - 6h
  1. Terceiro termo:
9 cdot (18 - 4) = 9 cdot 14 = 126
Agora, somamos todos os termos:
36 + 9h - 108 - 6h + 126 = (36 - 108 + 126) + (9h - 6h) = 54 + 3h

Passo 5

Para que os vetores sejam linearmente dependentes, o determinante deve ser zero:
54 + 3h = 0
Resolvendo para 3h = -54 h = -18 :

Resposta

O valor de que torna os vetores , e linearmente dependentes é .

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