Determine as mudanças de coordenadas consecutivas necessárias para encontrar a
nica da cônica.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma equação de uma cônica, que nesse caso é uma forma geral com termos quadráticos e um termo cruzado . O objetivo é fazer mudanças de coordenadas para transformar essa equação na forma canônica da cônica, ou seja, uma forma mais simples que facilita identificar que tipo de cônica estamos lidando (elipse, hipérbole, parábola).
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que temos de forma mais clara. A equação dada é:
Nosso objetivo é eliminar o termo , que indica que os eixos da cônica não estão alinhados com os eixos das coordenadas e .
Passo 3
Para eliminar o termo , precisamos rotacionar o sistema de coordenadas. A rotação é uma mudança de coordenadas que gira os eixos e em um ângulo . A fórmula para eliminar o termo envolve encontrar o ângulo que satisfaz:
onde , , e (coeficientes da equação geral da cônica ).
Passo 4
Calculando o ângulo :
Isso significa que (ou 90 graus), então:
Portanto, precisamos rotacionar o sistema de coordenadas em 45 graus para eliminar o termo .
Passo 5
Após a rotação, as novas coordenadas e são dadas por:
Com , temos . Substituindo:
Passo 6
Substituímos e na equação original com as expressões em termos de e :
Esse cálculo vai simplificar a equação eliminando o termo .
Passo 7
Após simplificar todos os termos, a equação resultante ficará sem o termo , obtendo uma equação na forma canônica:
Onde , , , e são novos coeficientes que resultam da substituição e simplificação.
Resposta
Após realizar a rotação de 45 graus nas coordenadas, a equação da cônica transforma-se na forma canônica sem o termo cruzado , facilitando a identificação da cônica. A forma final da equação será:
onde , , , e são coeficientes determinados após a substituição e simplificação.