Dada a posição de uma partícula, no instante t, por x(t) = 4t^2 - 4t + 16, esboçar os gráficos da função posição e função velocidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem a posição de uma partícula em função do tempo dada por . Nosso objetivo é desenhar os gráficos dessa função posição e também da função velocidade. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, que nos ajudam a encontrar a velocidade a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função posição: . Essa é uma função quadrática, que geralmente tem a forma de uma parábola. O gráfico dessa função vai nos mostrar como a posição da partícula varia ao longo do tempo.

Passo 3

Para encontrar a função velocidade, precisamos derivar a função posição em relação ao tempo. A derivada de nos dá a velocidade . Portanto, calculando a derivada:
Então, a função velocidade é .

Passo 4

Agora que temos as duas funções, vamos entender como elas se comportam. A função posição é uma parábola que abre para cima, já que o coeficiente de é positivo. Isso significa que, conforme o tempo aumenta, a posição da partícula aumenta em um ritmo que acelera.
Já a função velocidade é uma função linear. Ela nos mostra que a velocidade da partícula aumenta linearmente com o tempo.

Passo 5

Para esboçar os gráficos:
  1. Gráfico da posição :
    • É uma parábola com abertura para cima.
    • O vértice pode ser encontrado usando a fórmula , onde e :
    • Substituindo na função:
    • Então, o vértice está em .
  2. Gráfico da velocidade :
    • É uma reta com inclinação 8 e interceptação em .
    • Quando , .
    • Quando , .

Passo 6

Com essas informações, podemos esboçar os gráficos:
  • Posição : Uma parábola abrindo para cima com vértice em .
  • Velocidade : Uma reta que cruza o eixo y em e tem inclinação positiva, indicando que a velocidade aumenta com o tempo.

Resposta

Os gráficos são:
  1. Função Posição : Uma parábola com vértice em , , abrindo para cima.
  2. Função Velocidade : Uma reta linear que intercepta o eixo y em e aumenta com uma inclinação de 8.

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