Dada a posição de uma partícula, no instante
, por
, esboçar os gráficos da função posição e função velocidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem a posição de uma partícula em função do tempo dada por
. Nosso objetivo é desenhar os gráficos dessa função posição e também da função velocidade. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, que nos ajudam a encontrar a velocidade a partir da posição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função posição:
. Essa é uma função quadrática, que geralmente tem a forma de uma parábola. O gráfico dessa função vai nos mostrar como a posição da partícula varia ao longo do tempo.
Passo 3
Para encontrar a função velocidade, precisamos derivar a função posição em relação ao tempo. A derivada de
nos dá a velocidade
. Portanto, calculando a derivada:
Então, a função velocidade é
.
Passo 4
Agora que temos as duas funções, vamos entender como elas se comportam. A função posição
é uma parábola que abre para cima, já que o coeficiente de
é positivo. Isso significa que, conforme o tempo aumenta, a posição da partícula aumenta em um ritmo que acelera.
Já a função velocidade
é uma função linear. Ela nos mostra que a velocidade da partícula aumenta linearmente com o tempo.
Passo 5
Para esboçar os gráficos:
-
Gráfico da posição
: - É uma parábola com abertura para cima.
- O vértice pode ser encontrado usando a fórmula
, onde e : - Substituindo
na função: - Então, o vértice está em
.
-
Gráfico da velocidade
: - É uma reta com inclinação 8 e interceptação em
. - Quando
, . - Quando
, .
- É uma reta com inclinação 8 e interceptação em
Passo 6
Com essas informações, podemos esboçar os gráficos:
- Posição
: Uma parábola abrindo para cima com vértice em . - Velocidade
: Uma reta que cruza o eixo y em e tem inclinação positiva, indicando que a velocidade aumenta com o tempo.
Resposta
Os gráficos são:
-
Função Posição
: Uma parábola com vértice em , , abrindo para cima. -
Função Velocidade
: Uma reta linear que intercepta o eixo y em e aumenta com uma inclinação de 8.