Resolva as integrais abaixo
(d) integral x e^2 x(2 x+1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão envolve cálculo integral, mais especificamente técnicas de substituição e integração. Para resolver, vamos precisar entender como usar substituição adequada para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável . Observando o denominador , uma boa escolha é definir .

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de dudx = 2 Rightarrow dx = du2 em relação a :
Isso nos ajuda a substituir na integral.

Passo 4

Expressamos x = u - 12 em termos de e^2x = e^u - 1 = e^u cdot e^-1 = e^ue . A partir de , temos:
Também substituímos . Sabemos que , então:

Passo 5

Substituindo tudo na integral original:
integral x e^2x(2x+1)^2 dx = integral (u - 12) cdot e^ueu^2 cdot du2
Simplificando os constantes:
= 14e integral (u - 1) e^uu^2 du

Passo 6

Agora, vamos simplificar a fração dentro da integral:
(u - 1)u^2 = uu^2 - 1u^2 = 1u - 1u^2
Portanto, a integral fica:
14e integral ( e^uu - e^uu^2 ) du

Passo 7

Essas integrais são conhecidas como integrais exponenciais e envolvem a função especial Ei. Mas para fins didáticos, podemos integrar por partes a segunda parte da expressão.
Vamos focar na parte , que não possui uma antiderivada elementar, mas reconhecemos que é a função Ei.

Passo 8

Então, combinando tudo, a solução da integral é:
14e ( Ei(u) + e^uu ) + C
Substituindo 14e ( Ei(2x + 1) + e^2x + 12x + 1 ) + C :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral 14e ( Ei(2x + 1) + e^2x + 12x + 1 ) + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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