Dada a quádrica A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0, o ângulo theta de rotação (no sentido anti-horário) que elimina o termo x y é dado por cot (2 theta)=(A-C) / B. Use esse resultado para eliminar o termo x y a partir de uma rotação dos eixos coordenados. 9 x^2+3 x y+9 y^2=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação quadrática que tem um termo misto xy: 9x^2 + 3xy + 9y^2 = 5. O objetivo aqui é girar os eixos coordenados para eliminar esse termo xy, facilitando a análise da curva. Para isso, vamos usar a fórmula que relaciona o ângulo de rotação theta com os coeficientes da equação original: cot(2theta) = A - CB. Aqui, A = 9, B = 3 e C = 9. Precisamos encontrar theta e aplicar a rotação para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o ângulo theta que vai eliminar o termo xy. Usamos a fórmula:
cot(2theta) = A - CB
Substituindo os valores:
cot(2theta) = 9 - 93 = 03 = 0
Sabemos que cot(2theta) = 0 implica que 2theta = pi2, porque o cosseno de pi2 é zero. Portanto:
2theta = pi2 implies theta = pi4
Então, o ângulo de rotação necessário é theta = pi4 radianos, ou 45 graus.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a rotação dos eixos. As fórmulas para a rotação são:
x = x' costheta - y' sintheta y = x' sintheta + y' costheta
Com theta = pi4, temos costheta = sintheta = raiz22. Substituindo esses valores:
x = raiz22x' - raiz22y' y = raiz22x' + raiz22y'
Agora, substituímos x e y na equação original:
9(raiz22x' - raiz22y')^2 + 3(raiz22x' - raiz22y')(raiz22x' + raiz22y') + 9(raiz22x' + raiz22y')^2 = 5
Vamos expandir e simplificar cada termo:
  1. Expandindo 9x^2:
9(24x'^2 - 24x'y' + 24y'^2) = 9(12x'^2 - 12x'y' + 12y'^2) = 92x'^2 - 92x'y' + 92y'^2
  1. Expandindo 3xy:
3(24x'^2 - 24y'^2) = 3(12x'^2 - 12y'^2) = 32x'^2 - 32y'^2
  1. Expandindo 9y^2:
9(24x'^2 + 24x'y' + 24y'^2) = 9(12x'^2 + 12x'y' + 12y'^2) = 92x'^2 + 92x'y' + 92y'^2
Somando todos os termos:
(92x'^2 - 92x'y' + 92y'^2) + (32x'^2 - 32y'^2) + (92x'^2 + 92x'y' + 92y'^2) = 5
Simplificando:
(92 + 32 + 92)x'^2 + (-92x'y' + 92x'y') + (92y'^2 - 32y'^2 + 92y'^2) = 5
Calculando cada parte:
  • Para x'^2:
92 + 32 + 92 = 212
  • Para x'y':
-92 + 92 = 0
  • Para y'^2:
92 - 32 + 92 = 152
Então, a equação simplificada fica:
212x'^2 + 152y'^2 = 5

Resposta

Após a rotação dos eixos, a equação sem o termo xy é:
212x'^2 + 152y'^2 = 5

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