Dada a quádrica
, o ângulo
de rotação (no sentido anti-horário) que elimina o termo
é dado por
. Use esse resultado para eliminar o termo
a partir de uma rotação dos eixos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação quadrática que tem um termo misto
:
. O objetivo aqui é girar os eixos coordenados para eliminar esse termo
, facilitando a análise da curva. Para isso, vamos usar a fórmula que relaciona o ângulo de rotação
com os coeficientes da equação original:
. Aqui,
,
e
. Precisamos encontrar
e aplicar a rotação para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o ângulo
que vai eliminar o termo
. Usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Sabemos que
implica que
, porque o cosseno de
é zero. Portanto:
Então, o ângulo de rotação necessário é
radianos, ou 45 graus.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a rotação dos eixos. As fórmulas para a rotação são:
Com
, temos
. Substituindo esses valores:
Agora, substituímos
e
na equação original:
Vamos expandir e simplificar cada termo:
- Expandindo
:
- Expandindo
:
- Expandindo
:
Somando todos os termos:
Simplificando:
Calculando cada parte:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, a equação simplificada fica:
Resposta
Após a rotação dos eixos, a equação sem o termo
é: