Transforme a equação dada usando uma rotação de
dos eixos coordenados no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente transformar a equação
usando uma rotação de
nos eixos coordenados, no sentido anti-horário. O conteúdo aqui é rotação de eixos em geometria analítica, e para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar essa rotação na equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa rotacionar os eixos coordenados. Quando rotacionamos os eixos, estamos mudando a orientação do sistema de coordenadas para facilitar a análise da equação. A fórmula para fazer essa rotação envolve substituir as coordenadas
e
por novas coordenadas
e
.
Passo 3
A rotação de
no sentido anti-horário é dada pelas seguintes relações:
Como
, temos:
Então, as equações ficam:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas expressões de
e
na equação original
:
Passo 5
Vamos expandir cada termo:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, somamos todos os termos e vamos simplificar:
Vamos combinar os termos semelhantes:
- Termos de
: - Termos de
: - Termos de
:
Então, a equação fica:
Passo 7
Para simplificar, vamos multiplicar todos os termos por 2 para eliminar os denominadores:
Finalmente, isolando os termos para a forma padrão:
Resposta
A equação transformada após a rotação de
é
.