Transforme a equação dada usando uma rotação de theta dos eixos coordenados no sentido anti-horário. 3 x^2+x y+3 y^2-5=0, theta=45^circ

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente transformar a equação usando uma rotação de nos eixos coordenados, no sentido anti-horário. O conteúdo aqui é rotação de eixos em geometria analítica, e para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar essa rotação na equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa rotacionar os eixos coordenados. Quando rotacionamos os eixos, estamos mudando a orientação do sistema de coordenadas para facilitar a análise da equação. A fórmula para fazer essa rotação envolve substituir as coordenadas e por novas coordenadas e .

Passo 3

A rotação de x = x'costheta - y'sintheta no sentido anti-horário é dada pelas seguintes relações:
y = x'sintheta + y'costheta
cos45^circ = sin45^circ = raiz22
Como x = raiz22x' - raiz22y' , temos:
y = raiz22x' + raiz22y'
Então, as equações ficam:

Passo 4

Agora, vamos substituir essas expressões de 3(raiz22x' - raiz22y')^2 + (raiz22x' - raiz22y')(raiz22x' + raiz22y') + 3(raiz22x' + raiz22y')^2 - 5 = 0 e na equação original :

Passo 5

Vamos expandir cada termo:
Para 3(raiz22x' - raiz22y')^2 = 3 ( 24x'^2 - 2 cdot raiz22 cdot raiz22 x'y' + 24y'^2 ) = 3(12x'^2 - 12x'y' + 12y'^2) = 32x'^2 - 32x'y' + 32y'^2 :
(raiz22x' - raiz22y')(raiz22x' + raiz22y') = (24x'^2 - 24y'^2) = 12x'^2 - 12y'^2
Para 3(raiz22x' + raiz22y')^2 = 3 ( 24x'^2 + 2 cdot raiz22 cdot raiz22 x'y' + 24y'^2 ) = 3(12x'^2 + 12x'y' + 12y'^2) = 32x'^2 + 32x'y' + 32y'^2 :
Para :

Passo 6

Agora, somamos todos os termos e vamos simplificar:
32x'^2 - 32x'y' + 32y'^2 + 12x'^2 - 12y'^2 + 32x'^2 + 32x'y' + 32y'^2 - 5 = 0
Vamos combinar os termos semelhantes:
  • Termos de 72x'^2 + 52y'^2 - 5 = 0 :
  • Termos de :
  • Termos de :
Então, a equação fica:

Passo 7

Para simplificar, vamos multiplicar todos os termos por 2 para eliminar os denominadores:
7x'^2 + 5y'^2 - 10 = 0
Finalmente, isolando os termos para a forma padrão:
7x'^2 + 5y'^2 = 10

Resposta

A equação transformada após a rotação de é .

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