Usando Gauss-Jordan, encontre o polinômio cúbico, p(x)=beta0+beta1 x+beta2 x^2+beta3 x^3, que passa pelos pontos (1, m3),(2, m4),(3, m5) e (4, m6).

Passo 1

Beleza, pessoal! A gente tem que encontrar um polinômio cúbico, que é do tipo , que passa pelos pontos , , e . Para isso, vamos usar o método de Gauss-Jordan, que ajuda a resolver sistemas de equações lineares encontrando os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos montar um sistema de equações usando os pontos dados. Cada ponto beta0 + beta1(1) + beta2(1)^2 + beta3(1)^3 = m3 nos dá uma equação quando substituímos beta0 + beta1 + beta2 + beta3 = m3 e beta0 + beta1(2) + beta2(2)^2 + beta3(2)^3 = m4 .
Para beta0 + 2beta1 + 4beta2 + 8beta3 = m4 :
beta0 + beta1(3) + beta2(3)^2 + beta3(3)^3 = m5
Simplificando:
beta0 + 3beta1 + 9beta2 + 27beta3 = m5
Para beta0 + beta1(4) + beta2(4)^2 + beta3(4)^3 = m6 :
beta0 + 4beta1 + 16beta2 + 64beta3 = m6
Simplificando:
beta0 + beta1 + beta2 + beta3 = m3 beta0 + 2beta1 + 4beta2 + 8beta3 = m4 beta0 + 3beta1 + 9beta2 + 27beta3 = m5 beta0 + 4beta1 + 16beta2 + 64beta3 = m6
Para :
Simplificando:
Para :
Simplificando:
Então, nosso sistema de equações fica assim:

Passo 3

Agora, vamos representar esse sistema em forma de matriz aumentada para aplicar o método de Gauss-Jordan. A matriz aumentada é assim:
1 & 1 & 1 & 1 & | & m3 1 & 2 & 4 & 8 & | & m4 1 & 3 & 9 & 27 & | & m5 1 & 4 & 16 & 64 & | & m6
Cada linha da matriz representa uma equação do sistema, e a barra vertical separa os coeficientes das incógnitas dos termos constantes.

Passo 4

Vamos começar a aplicar o método de Gauss-Jordan, que envolve transformar a matriz em uma forma onde seja fácil encontrar as soluções das incógnitas. O objetivo é ter 1’s na diagonal principal e 0’s abaixo e acima dela.
Primeiro, vamos tornar o primeiro elemento da primeira linha igual a 1 (o que já está, então não precisamos mudar). Em seguida, vamos eliminar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna.
Para eliminar o 1 das linhas 2, 3 e 4 na primeira coluna, fazemos:
Linha 2 = Linha 2 - Linha 1:
(1 - 1, 2 - 1, 4 - 1, 8 - 1 | m4 - m3) Rightarrow (0, 1, 3, 7 | m4 - m3)
Linha 3 = Linha 3 - Linha 1:
(1 - 1, 3 - 1, 9 - 1, 27 - 1 | m5 - m3) Rightarrow (0, 2, 8, 26 | m5 - m3)
Linha 4 = Linha 4 - Linha 1:
(1 - 1, 4 - 1, 16 - 1, 64 - 1 | m6 - m3) Rightarrow (0, 3, 15, 63 | m6 - m3)
Nossa matriz agora fica assim:
1 & 1 & 1 & 1 & | & m3 0 & 1 & 3 & 7 & | & m4 - m3 0 & 2 & 8 & 26 & | & m5 - m3 0 & 3 & 15 & 63 & | & m6 - m3

Passo 5

Agora, vamos trabalhar com a segunda coluna. Queremos que o segundo elemento da segunda linha seja 1 (já está) e os elementos abaixo dele sejam 0.
Para eliminar o 2 da terceira linha e o 3 da quarta linha na segunda coluna:
Linha 3 = Linha 3 - 2 * Linha 2:
(0, 2 - 2*1, 8 - 2*3, 26 - 2*7 | (m5 - m3) - 2*(m4 - m3)) Rightarrow (0, 0, 2, 12 | m5 - m3 - 2m4 + 2m3) Rightarrow (0, 0, 2, 12 | m5 - 2m4 + m3)
Linha 4 = Linha 4 - 3 * Linha 2:
(0, 3 - 3*1, 15 - 3*3, 63 - 3*7 | (m6 - m3) - 3*(m4 - m3)) Rightarrow (0, 0, 6, 42 | m6 - m3 - 3m4 + 3m3) Rightarrow (0, 0, 6, 42 | m6 - 3m4 + 2m3)
Nossa matriz agora está assim:
1 & 1 & 1 & 1 & | & m3 0 & 1 & 3 & 7 & | & m4 - m3 0 & 0 & 2 & 12 & | & m5 - 2m4 + m3 0 & 0 & 6 & 42 & | & m6 - 3m4 + 2m3

Passo 6

Agora, vamos focar na terceira coluna. Queremos que o terceiro elemento da terceira linha seja 1. Para isso, vamos dividir a terceira linha por 2:
Linha 3 = (1/2) * Linha 3:
(0, 0, 2/2, 12/2 | (m5 - 2m4 + m3)/2 ) Rightarrow (0, 0, 1, 6 | m5 - 2m4 + m32)
Nossa matriz agora:
1 & 1 & 1 & 1 & | & m3 0 & 1 & 3 & 7 & | & m4 - m3 0 & 0 & 1 & 6 & | & m5 - 2m4 + m32 0 & 0 & 6 & 42 & | & m6 - 3m4 + 2m3

Passo 7

Vamos eliminar o 6 da quarta linha na terceira coluna usando a Linha 3:
Linha 4 = Linha 4 - 6 * Linha 3:
(0, 0, 6 - 6*1, 42 - 6*6 | (m6 - 3m4 + 2m3) - 6*m5 - 2m4 + m32)
Simplificando:
(0, 0, 0, 6 | m6 - 3m4 + 2m3 - 3(m5 - 2m4 + m3)) )
(0, 0, 0, 6 | m6 - 3m4 + 2m3 - 3m5 + 6m4 - 3m3) )
(0, 0, 0, 6 | m6 + 3m4 - 3m5 - m3)
Agora, a matriz fica:
1 & 1 & 1 & 1 & | & m3 0 & 1 & 3 & 7 & | & m4 - m3 0 & 0 & 1 & 6 & | & m5 - 2m4 + m32 0 & 0 & 0 & 6 & | & m6 + 3m4 - 3m5 - m3

Passo 8

Agora, vamos resolver a quarta linha para encontrar 6beta3 = m6 + 3m4 - 3m5 - m3 :
beta3 = m6 + 3m4 - 3m5 - m36
Dividindo ambos os lados por 6:

Passo 9

Com beta2 + 6beta3 = m5 - 2m4 + m32 encontrado, vamos voltar para a terceira linha para encontrar beta2 + 6(m6 + 3m4 - 3m5 - m36) = m5 - 2m4 + m32 :
beta2 + (m6 + 3m4 - 3m5 - m3) = m5 - 2m4 + m32
Substituindo beta2 = m5 - 2m4 + m32 - m6 - 3m4 + 3m5 + m3 :
beta2 = m5 - 2m4 + m3 - 2m6 - 6m4 + 6m5 + 2m32
Simplificando:
beta2 = 7m5 - 8m4 + 3m3 - 2m62

Passo 10

Agora, vamos para a segunda linha para encontrar beta1 + 3beta2 + 7beta3 = m4 - m3 :
beta1 + 3(7m5 - 8m4 + 3m3 - 2m62) + 7(m6 + 3m4 - 3m5 - m36) = m4 - m3
Substituindo beta1 + 21m5 - 24m4 + 9m3 - 6m62 + 7m6 + 21m4 - 21m5 - 7m36 = m4 - m3 e beta1 + 63m5 - 72m4 + 27m3 - 18m66 + 7m6 + 21m4 - 21m5 - 7m36 = m4 - m3 :
beta1 + 42m5 - 51m4 + 20m3 - 11m66 = m4 - m3
Simplificando:
Encontrando um denominador comum (6):
Somando as frações:
Multiplicando ambos os lados por 6:
6beta1 + 42m5 - 51m4 + 20m3 - 11m6 = 6m4 - 6m3
Isolando 6beta1 = 6m4 - 6m3 - 42m5 + 51m4 - 20m3 + 11m6 :
6beta1 = 57m4 - 26m3 - 42m5 + 11m6
beta1 = 57m4 - 26m3 - 42m5 + 11m66

Passo 11

Por fim, vamos para a primeira linha para encontrar beta0 + beta1 + beta2 + beta3 = m3 :
beta0 + 57m4 - 26m3 - 42m5 + 11m66 + 7m5 - 8m4 + 3m3 - 2m62 + m6 + 3m4 - 3m5 - m36 = m3
Substituindo beta0 + 57m4 - 26m3 - 42m5 + 11m6 + 21m5 - 24m4 + 9m3 - 6m6 + m6 + 3m4 - 3m5 - m36 = m3 , beta0 + 57m4 - 24m4 + 3m4 - 26m3 + 9m3 - m3 - 42m5 + 21m5 - 3m5 + 11m6 - 6m6 + m66 = m3 e beta0 + 36m4 - 18m3 - 24m5 + 6m66 = m3 :
beta0 + 6m4 - 3m3 - 4m5 + m6 = m3
Simplificando:
beta0 = m3 - 6m4 + 3m3 + 4m5 - m6
beta0 = 4m3 - 6m4 + 4m5 - m6

Resposta

O polinômio cúbico que passa pelos pontos p(x) = beta0 + beta1x + beta2x^2 + beta3x^3 , beta0 = 4m3 - 6m4 + 4m5 - m6 , beta1 = 57m4 - 26m3 - 42m5 + 11m66 e beta2 = 7m5 - 8m4 + 3m3 - 2m62 é:
beta3 = m6 + 3m4 - 3m5 - m36
onde:
Assim, substituindo esses valores na expressão de , temos o polinômio cúbico desejado.

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