Dada a reta abaixo, determine o ponto de r tal que: x=2+t, y=3-t, z=-4+2 t e a abscissa seja igual a ordenada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma reta no espaço tridimensional, definida pelas equações paramétricas:
x = 2 + t, y = 3 - t, z = -4 + 2t
Precisamos encontrar o ponto nessa reta em que a abscissa (o valor de ) é igual à ordenada (o valor de ). Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e equações paramétricas de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a abscissa é igual à ordenada. Isso quer dizer que:
x = y
Substituindo as expressões das equações paramétricas, temos:
2 + t = 3 - t
Agora, nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar o valor de .

Passo 3

Vamos resolver a equação 2 + t + t = 3 . Primeiro, vamos somar 2 + 2t = 3 em ambos os lados para trazer todas as variáveis para um lado:
2t = 1
Isso simplifica para:
t = 12
Agora, subtraímos 2 de ambos os lados para isolar o termo com :
Finalmente, dividimos ambos os lados por 2 para encontrar :

Passo 4

Com o valor de x = 2 + 12 = 52 encontrado ( y = 3 - 12 = 52 ), vamos substituir esse valor nas equações paramétricas para encontrar as coordenadas z = -4 + 2 times 12 = -4 + 1 = -3 , e do ponto desejado.
Calculando :
Calculando :
Calculando :

Resposta

O ponto em que a abscissa é igual à ordenada na reta ( 52, 52, -3 ) é:

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