Resolvas os Sistemas de Equações Diferenciais Lineares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais lineares que você me mandou. A matéria que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Lineares, e para resolver vamos precisar achar os valores e vetores próprios do sistema. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. Isso facilita as operações que vamos fazer depois. O sistema que temos é:
Podemos escrever isso como:
onde

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os valores próprios (ou autovalores) da matriz . Para isso, resolvemos o determinante de , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Calculando:
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são:

Passo 4

Com os autovalores encontrados, vamos achar os vetores próprios correspondentes. Começando com :
Resolvemos :

[



]
Isso nos dá a equação:
Então, podemos escolher , então .
Agora, para :
Resolvemos :

[



]
Isso nos dá a equação:
Escolhendo , temos .

Passo 5

Com os autovalores e vetores próprios, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada autovalor:
Substituindo os valores que encontramos:
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais.

Resposta

A solução geral do sistema é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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