Resolvas os Sistemas de Equações Diferenciais Lineares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais lineares que você me mandou. A matéria que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Lineares, e para resolver vamos precisar achar os valores e vetores próprios do sistema. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. Isso facilita as operações que vamos fazer depois. O sistema que temos é:
Podemos escrever isso como:
onde
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os valores próprios (ou autovalores) da matriz
. Para isso, resolvemos o determinante de
, onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Calculando:
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são:
Passo 4
Com os autovalores encontrados, vamos achar os vetores próprios correspondentes. Começando com
:
Resolvemos
:
[
]
Isso nos dá a equação:
Então, podemos escolher
, então
.
Agora, para
:
Resolvemos
:
[
]
Isso nos dá a equação:
Escolhendo
, temos
.
Passo 5
Com os autovalores e vetores próprios, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada autovalor:
Substituindo os valores que encontramos:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais.
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
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