Resolvas os Sistemas de Equações Diferenciais Lineares. & y1^prime=y1+y2 & y2^prime=-2 y1+4 y2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais lineares que você me mandou. A matéria que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Lineares, e para resolver vamos precisar achar os valores e vetores próprios do sistema. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. Isso facilita as operações que vamos fazer depois. O sistema que temos é:
y1^prime = y1 + y2 y2^prime = -2y1 + 4y2
Podemos escrever isso como:
y^prime = A y
onde
A = 1 & 1 -2 & 4 e y = y1 y2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os valores próprios (ou autovalores) da matriz det(A - lambda I) = 0 . Para isso, resolvemos o determinante de det 1 - lambda & 1 -2 & 4 - lambda = (1 - lambda)(4 - lambda) - (-2)(1) = 0 , onde (1 - lambda)(4 - lambda) + 2 = 0 (4 - lambda - 4lambda + lambda^2) + 2 = 0 lambda^2 -5lambda +6 = 0 é a matriz identidade e lambda^2 -5lambda +6 = 0 lambda = 5 pm raiz25 -242 = 5 pm 12 representa os autovalores.
lambda1 = 3 e lambda2 = 2
Calculando:
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são:

Passo 4

Com os autovalores encontrados, vamos achar os vetores próprios correspondentes. Começando com 1 -3 & 1 -2 & 4 -3 v1 v2 = -2 & 1 -2 & 1 v1 v2 = 0 0 :
Resolvemos -2v1 + v2 = 0 Rightarrow v2 = 2v1 :

[
1 2
1 -2 & 1 -2 & 4 -2 v1 v2 = -1 & 1 -2 & 2 v1 v2 = 0 0

-v1 + v2 = 0 Rightarrow v2 = v1
1 1


]
Isso nos dá a equação:
Então, podemos escolher , então .
Agora, para :
Resolvemos :

[



]
Isso nos dá a equação:
Escolhendo , temos .

Passo 5

Com os autovalores e vetores próprios, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada autovalor:
y(t) = c1 e^lambda1 t v1 + c2 e^lambda2 t v2
Substituindo os valores que encontramos:
y(t) = c1 e^3t 1 2 + c2 e^2t 1 1
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais.

Resposta

A solução geral do sistema é:
y1(t) = c1 e^3t + c2 e^2t y2(t) = 2c1 e^3t + c2 e^2t
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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