Dado o vetor v=(2,-1,-3), determinar o vetor paralelo a v que tenha o mesmo sentido de v e módulo 4 ; R:(8raiz14,-4raiz14,-12raiz14).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar um vetor que seja paralelo ao vetor v = (2, -1, -3), que tenha o mesmo sentido e um módulo (comprimento) de 4. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, especialmente de magnitude e vetores paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um vetor ser paralelo e ter o mesmo sentido, ele deve ser um múltiplo escalar do vetor original. Ou seja, nosso vetor procurado R pode ser escrito como R = k cdot v, onde k é um número real positivo.

Passo 3

Agora, precisamos determinar o valor de k de forma que o módulo de R seja 4. A fórmula para o módulo de um vetor R = (x, y, z) é:
|R| = raizx^2 + y^2 + z^2

Passo 4

Aplicando isso ao nosso vetor R = k cdot (2, -1, -3), temos:
|R| = raiz(2k)^2 + (-k)^2 + (-3k)^2 = raiz4k^2 + k^2 + 9k^2 = raiz14k^2 = raiz14 cdot |k|
Como k é positivo, podemos tirar o valor absoluto:
|R| = raiz14 cdot k

Passo 5

Queremos que |R| = 4, então:
raiz14 cdot k = 4
Resolvendo para k:
k = 4raiz14

Passo 6

Agora que temos o valor de k, substituímos de volta na expressão para R:
R = 4raiz14 cdot (2, -1, -3) = ( 8raiz14, -4raiz14, -12raiz14 )

Resposta

O vetor procurado é R = (8raiz14, -4raiz14, -12raiz14).

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