Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
O conjunto de todas as matrizes da forma
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se um conjunto específico de matrizes forma um espaço vetorial quando usamos as operações habituais de soma e multiplicação por escalar. Para isso, vamos precisar conhecer os axiomas de espaço vetorial e verificar se esse conjunto os satisfaz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é o conjunto que estamos analisando. As matrizes no conjunto têm a seguinte forma:
Aqui, os elementos , e podem ser quaisquer números reais. Notamos que todas as diagonais são zero, e os elementos fora da diagonal seguem um padrão específico.
Passo 3
Agora, vamos revisar rapidamente o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um corpo (como os números reais) deve satisfazer dez axiomas, como:
Fechamento sob adição: A soma de dois vetores do espaço também está no espaço.
Fechamento sob multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por um escalar resulta em um vetor no espaço.
Existência do vetor zero: Há um vetor zero no espaço.
Existência de inversos aditivos: Para todo vetor, existe um vetor que, somado a ele, dá o vetor zero.
Associatividade da adição, comutatividade da adição, entre outros.
Vamos verificar se nosso conjunto atende a esses axiomas.
Passo 4
Primeiro Axioma: Fechamento sob adição
Vamos pegar duas matrizes desse conjunto e somá-las. Seja:
A soma é:
Perceba que a soma mantém a forma das matrizes no conjunto, afinal, as diagonais continuam zero e os outros elementos seguem o mesmo padrão. Portanto, o fechamento sob adição é válido.
Passo 5
Segundo Axioma: Fechamento sob multiplicação por escalar
Vamos multiplicar uma matriz do conjunto por um escalar :
Novamente, as diagonais permanecem zero e os outros elementos seguem o mesmo padrão. Logo, o fechamento sob multiplicação por escalar também é válido.
Passo 6
Terceiro Axioma: Existência do vetor zero
O vetor zero no contexto de matrizes é a matriz onde todos os elementos são zero. Vamos ver se essa matriz está no nosso conjunto:
Sim, essa matriz pertence ao conjunto, pois todas as diagonais são zero e os outros elementos também são zero, seguindo o padrão definido.
Passo 7
Quarto Axioma: Existência de inversos aditivos
Para cada matriz no conjunto, deve existir uma matriz também no conjunto, tal que .
Se tomarmos:
A matriz está no conjunto, pois as diagonais permanecem zero e os outros elementos seguem o padrão. Portanto, o inverso aditivo existe.
Passo 8
Vamos continuar verificando os demais axiomas, mas já que até agora todos estão valendo, vamos verificar qual axioma pode falhar, já que é improvável que todos sejam atendidos sem erro.
Axioma adicional: A existência de múltiplos vetores resultando fora do conjunto
Mas na verdade, todos os axiomas básicos estão sendo satisfeitos. Então, o conjunto parece ser um espaço vetorial.
Resposta
Sim, o conjunto de todas as matrizes da forma dada, juntamente com as operações usuais de matriz, forma um espaço vetorial, pois satisfaz todos os axiomas necessários.