Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
O conjunto de todas as matrizes
diagonais
O conjunto de todas as matrizes
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se o conjunto de todas as matrizes
diagonais, com as operações que a gente já conhece (como soma de matrizes e multiplicação por escalar), forma um espaço vetorial. Pra isso, vamos lembrar o que é um espaço vetorial e ver se esse conjunto atende todas as regras necessárias.
Passo 2
Primeiro, o que é um espaço vetorial? Basicamente, é um conjunto de objetos chamados vetores que você pode somar entre si e multiplicar por números (escalar), e que seguem certas regras chamadas axiomas. Existem 10 axiomas que precisam ser válidos para que seja um espaço vetorial, como ter um elemento neutro (o zero), ser comutativo, associativo, entre outros.
Passo 3
Agora, vamos ver se o conjunto das matrizes diagonais
satisfaz esses axiomas. Uma matriz diagonal é aquela que tem todos os elementos fora da diagonal principal iguais a zero. Por exemplo:
Passo 4
Primeiro, vamos ver se esse conjunto é fechado sob adição. Se pegarmos duas matrizes diagonais e somarmos, o resultado também será uma matriz diagonal:
$$
+
$$
Então, sim, a soma de duas matrizes diagonais é diagonal.
Passo 5
Agora, vamos checar a multiplicação por escalar. Se multiplicarmos uma matriz diagonal por um número
, todos os elementos da diagonal também serão multiplicados por
, e os zeros continuam:
$$
k \cdot
$$
Então, sim, a multiplicação por escalar mantém a matriz diagonal.
Passo 6
Além disso, todas as outras regras dos espaços vetoriais (como existência do elemento neutro, existência dos inversos, associatividade, comutatividade da soma, etc.) também são satisfeitas porque as matrizes diagonais herdam essas propriedades das matrizes
padrão, que já formam um espaço vetorial.
Resposta
Sim, o conjunto de todas as matrizes
diagonais, com as operações usuais, forma um espaço vetorial porque satisfaz todos os axiomas necessários.
Exercícios relacionados
Dada a reta abaixo, determine o ponto de
tal que:
e a abscissa seja igual a ordenada.
Dado o vetor
, determinar o vetor paralelo a
que tenha o mesmo sentido de
e módulo
.
Resolvas os Sistemas de Equações Diferenciais Lineares.
Ache o ângulo entre os seguintes pares de vetores: