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Use o símbolo de Levi-Civita e suas propriedades para determinar o produto vetorial de dois vetores genéricos e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre produto vetorial (aquele famoso “cruz” entre dois vetores) usando o símbolo de Levi-Civita. Basicamente, a gente vai descobrir como calcular o produto vetorial de dois vetores quaisquer, e , utilizando esse símbolo mágico. Para isso, vamos precisar entender um pouco de álgebra vetorial e as propriedades do símbolo de Levi-Civita.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. Ele resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. É muito usado para calcular áreas de paralelogramos, momentos de força, entre outras aplicações.
A fórmula geral do produto vetorial de e é:
Mas a gente vai utilizar o símbolo de Levi-Civita para tornar isso mais elegante.
Passo 3
Agora, o símbolo de Levi-Civita, representado por , é uma ferramenta que ajuda a lidar com determinantes e produtos vetoriais de forma mais compacta. Ele é definido da seguinte maneira:
se for uma permutação par de ,
se for uma permutação ímpar,
se qualquer índice se repetir.
Isso significa que ele ajuda a manter o sinal correto quando a gente reorganiza os índices.
Passo 4
Para expressar o produto vetorial usando o símbolo de Levi-Civita, a gente escreve cada componente do vetor resultante. Vamos tomar, por exemplo, a componente (A times B)i = sumj=1^3 sumk=1^3 epsilonijk Aj Bk -ésima do produto vetorial .
A fórmula fica:
Aqui, indica a componente que estamos calculando, e e são índices que percorrem as componentes dos vetores e .
Passo 5
Vamos detalhar isso um pouco mais. Para cada valor de (A times B)x = epsilon123Ay Bz + epsilon132Az By = (1)Ay Bz + (-1)Az By = Ay Bz - Az By (1, 2, 3 correspondendo a , , ), a soma sobre e irá considerar todas as combinações possíveis, mas graças ao , apenas as permutações pares e ímpares vão contribuir.
Por exemplo, para ():
E assim por diante para as outras componentes.
Passo 6
Juntando tudo, a expressão completa para o produto vetorial usando o símbolo de Levi-Civita fica:
A times B = sumi=1^3 sumj=1^3 sumk=1^3 epsilonijk Aj Bk , ei
Onde são os vetores unitários nas direções , , e .
Resposta
Então, utilizando o símbolo de Levi-Civita, o produto vetorial de dois vetores genéricos A times B = sumi=1^3 sumj=1^3 sumk=1^3 epsilonijk Aj Bk , ei e (A times B)i = epsilonijk Aj Bk é dado por:
Ou, de forma mais compacta:
Isso significa que cada componente do vetor resultante é calculada multiplicando-se os componentes correspondentes de e de acordo com as regras do símbolo de Levi-Civita.