Dada a reta r:z=2y, x=0, pertencente ao plano yz, qual é a equação da superfície cônica obtida a partir da rotação de r?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a equação da superfície cônica que resulta da rotação da reta $ r: z = 2y, \ x = 0 $, que está no plano $ yz $. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre como rotacionar uma reta no espaço tridimensional para gerar uma superfície cônica. Vamos usar coordenadas cartesianas e entender o processo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a reta $ r $. A equação $ x = 0 $ nos diz que todos os pontos da reta têm a coordenada $ x $ igual a zero, ou seja, a reta está no plano $ yz $. A equação $ z = 2y $ mostra a relação entre $ y $ e $ z $. Podemos representar qualquer ponto da reta como $ (0, y, 2y) $, onde $ y $ é um parâmetro que varia ao longo da reta.
Passo 3
Agora, vamos pensar na rotação dessa reta em torno do eixo $ y $. Quando giramos a reta $ r $ em torno do eixo $ y $, cada ponto $ (0, y, 2y) $ vai descrever um círculo no espaço. Para descrever a posição de um ponto após a rotação, usamos um ângulo $ \theta $.
Depois da rotação, as coordenadas $ x $ e $ z $ de cada ponto ficam assim:
Aqui, $ \sin \theta $ e $ \cos \theta $ ajustam as coordenadas de acordo com o ângulo de rotação.
Passo 4
Queremos eliminar o parâmetro $ \theta $ para obter uma equação que relaciona apenas $ x $, $ y $ e $ z $. Sabemos que:
Substituindo as expressões de $ x $ e $ z $ na identidade trigonométrica:
Simplificando a equação:
Multiplicando todos os termos por $ 4y^2 $ para eliminar os denominadores:
Resposta
A equação da superfície cônica obtida a partir da rotação de $ r $ é: