Dada as retas s:ly=-x z=3+x
determinar.
*a) O ponto de interseção entre as retas s e h;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três retas no espaço e precisa encontrar o ponto onde as retas s e h se cruzam. Isso envolve entender um pouquinho de geometria analítica, especificamente como trabalhar com equações paramétricas de retas. Vamos usar essas equações para achar onde elas se encontram.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas das retas s e h de forma mais clara.
Para a reta s, as equações dadas são:
y = -x z = 3 + x
Vamos usar um parâmetro, digamos s. Assim, podemos reescrever as equações paramétricas da reta s: x = lambda y = -lambda z = 3 + lambda como:
h
Para a reta h: x = 3 + t y = 1 - 3t z = t , as equações paramétricas estão dadas por:
Aqui, é o parâmetro.
Passo 3
Agora, para encontrar o ponto de interseção entre as retas s e h, precisamos achar valores de lambda = 3 + t -lambda = 1 - 3t 3 + lambda = t e que tornem as coordenadas , e iguais nas duas retas. Ou seja, devemos igualar as respectivas coordenadas:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar lambda = 3 + t (1) e 3 + lambda = t (3) .
Primeiro, da primeira equação:
3 + (3 + t) = t 6 + t = t
Da terceira equação:
6 = 0
Substituindo da equação (1) na equação (3):
Isso simplifica para:
Isso é impossível, o que significa que não há valores de e que satisfaçam todas as equações simultaneamente.
Passo 5
Como não encontramos uma solução válida para o sistema de equações, concluímos que as retas s e h não se intersectam no espaço. Elas são retas que não compartilham nenhum ponto em comum.