Dada as retas
r:cy-32=z+1-2 x=2
h:lx=3+t y=1-3 t z=t
s:ly=-x z=3+x
determinar.
*a) O ponto de interseção entre as retas s e h;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três retas no espaço e precisa encontrar o ponto onde as retas  s e  h se cruzam. Isso envolve entender um pouquinho de geometria analítica, especificamente como trabalhar com equações paramétricas de retas. Vamos usar essas equações para achar onde elas se encontram.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas das retas  s e  h de forma mais clara.
Para a reta  s, as equações dadas são:
y = -x z = 3 + x
Vamos usar um parâmetro, digamos s. Assim, podemos reescrever as equações paramétricas da reta  s: x = lambda y = -lambda z = 3 + lambda como:
h
Para a reta  h: x = 3 + t y = 1 - 3t z = t , as equações paramétricas estão dadas por:
Aqui, é o parâmetro.

Passo 3

Agora, para encontrar o ponto de interseção entre as retas  s e  h, precisamos achar valores de lambda = 3 + t -lambda = 1 - 3t 3 + lambda = t e que tornem as coordenadas , e iguais nas duas retas. Ou seja, devemos igualar as respectivas coordenadas:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar lambda = 3 + t (1) e 3 + lambda = t (3) .
Primeiro, da primeira equação:
3 + (3 + t) = t 6 + t = t
Da terceira equação:
6 = 0
Substituindo da equação (1) na equação (3):
Isso simplifica para:
Isso é impossível, o que significa que não há valores de e que satisfaçam todas as equações simultaneamente.

Passo 5

Como não encontramos uma solução válida para o sistema de equações, concluímos que as retas  s e  h não se intersectam no espaço. Elas são retas que não compartilham nenhum ponto em comum.

Resposta

As retas  s e  h não possuem ponto de interseção.

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