Seja V=F^n. Se u=(x1, ldots, xn) in V e v=(y1, ldots, yn) in V. Verifique se V munido com as operações de adição u oplus v=(x1, ldots, xn) e multiplicação por escalar usual é um espaço vetorial sobre F.

Passo 1

Vamos ver o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto , que é o conjunto de todos os vetores com componentes sobre o campo . As operações definidas são uma adição especial e a multiplicação por escalar usual. Nosso objetivo é verificar se, com essas operações, forma um espaço vetorial sobre . Para isso, vamos precisar revisar os axiomas que definem um espaço vetorial e verificar se eles são satisfeitos com as operações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são os axiomas que um conjunto precisa satisfazer para ser considerado um espaço vetorial. São eles:
  1. Fechamento na adição: A soma de dois vetores está no conjunto.
  2. Comutatividade da adição: .
  3. Associatividade da adição: .
  4. Elemento neutro da adição: Existe um vetor tal que .
  5. Elemento inverso da adição: Para cada vetor , existe tal que .
  6. Fechamento na multiplicação por escalar: está no conjunto para todo escalar .
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: .
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: .
  9. Associatividade da multiplicação por escalar: .
  10. Elemento neutro da multiplicação por escalar: .
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.

Passo 3

1. Fechamento na adição:
A operação definida é . Isso significa que a soma de qualquer dois vetores e resulta no vetor . Portanto, está em , já que . Então, o fechamento na adição é satisfeito.
2. Comutatividade da adição:
Precisamos verificar se .
Para que seja comutativo, precisaríamos que para todos os vetores, o que não é verdade. Portanto, a comutatividade não é satisfeita.
3. Associatividade da adição:
Vamos verificar se .
Ambos os lados resultam em , então a associatividade é satisfeita.
4. Elemento neutro da adição:
Procamos um vetor tal que .
De fato, qualquer vetor satisfaz essa condição, então o elemento neutro existe.
5. Elemento inverso da adição:
Precisamos que para cada , exista tal que .
Para que isso seja igual a , precisaríamos que para todos os , o que não é verdade. Portanto, o elemento inverso não existe.
Conclusão até agora:
Já falhamos em satisfazer a comutatividade da adição e a existência do elemento inverso. Apesar de continuarmos verificando os outros axiomas, já podemos concluir que não atende a todas as condições para ser um espaço vetorial com as operações definidas.

Resposta

Não, munido das operações de adição e multiplicação por escalar usual não é um espaço vetorial sobre , pois não satisfaz todos os axiomas necessários, como a comutatividade da adição e a existência do elemento inverso.

Exercícios relacionados