Seja
. Se
. Verifique se
munido com as operações de adição
e multiplicação por escalar usual é um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
Vamos ver o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto
, que é o conjunto de todos os vetores com
componentes sobre o campo
. As operações definidas são uma adição especial
e a multiplicação por escalar usual. Nosso objetivo é verificar se, com essas operações,
forma um espaço vetorial sobre
. Para isso, vamos precisar revisar os axiomas que definem um espaço vetorial e verificar se eles são satisfeitos com as operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar quais são os axiomas que um conjunto precisa satisfazer para ser considerado um espaço vetorial. São eles:
- Fechamento na adição: A soma de dois vetores está no conjunto.
- Comutatividade da adição:
. - Associatividade da adição:
. - Elemento neutro da adição: Existe um vetor
tal que . - Elemento inverso da adição: Para cada vetor
, existe tal que . - Fechamento na multiplicação por escalar:
está no conjunto para todo escalar . - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
. - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
. - Associatividade da multiplicação por escalar:
. - Elemento neutro da multiplicação por escalar:
.
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.
Passo 3
1. Fechamento na adição:
A operação definida é
. Isso significa que a soma de qualquer dois vetores
e
resulta no vetor
. Portanto,
está em
, já que
. Então, o fechamento na adição é satisfeito.
2. Comutatividade da adição:
Precisamos verificar se
.
Para que seja comutativo, precisaríamos que
para todos os vetores, o que não é verdade. Portanto, a comutatividade não é satisfeita.
3. Associatividade da adição:
Vamos verificar se
.
Ambos os lados resultam em
, então a associatividade é satisfeita.
4. Elemento neutro da adição:
Procamos um vetor
tal que
.
De fato, qualquer vetor
satisfaz essa condição, então o elemento neutro existe.
5. Elemento inverso da adição:
Precisamos que para cada
, exista
tal que
.
Para que isso seja igual a
, precisaríamos que
para todos os
, o que não é verdade. Portanto, o elemento inverso não existe.
Conclusão até agora:
Já falhamos em satisfazer a comutatividade da adição e a existência do elemento inverso. Apesar de continuarmos verificando os outros axiomas, já podemos concluir que
não atende a todas as condições para ser um espaço vetorial com as operações definidas.
Resposta
Não,
munido das operações de adição
e multiplicação por escalar usual não é um espaço vetorial sobre
, pois não satisfaz todos os axiomas necessários, como a comutatividade da adição e a existência do elemento inverso.