Dada a seguinte definição: Uma função vetorial f=f(t), definida em um intervalo I, é contínua em t0, se
lim t t0 f(t)=f(t0)
Verifique se a função vetorial f é contínua no ponto t=t0, onde
f(t)=ll(t^2+2 t-32 t-2, raizt-1t-1, t^3+2 t-3t^4+t^3-2 t^2), se t neq 1 (2, 12, 53), se t=1 e t0=1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma função vetorial f(t) que é definida por partes, e queremos verificar se ela é contínua no ponto t0 = 1. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções vetoriais, que basicamente diz que uma função é contínua em t0 se o limite dela quando t se aproxima de t0 é igual ao valor da função em t0. Vamos precisar calcular os limites das componentes da função quando t se aproxima de 1 e comparar com os valores dados em t=1.

Passo 2

Vamos começar calculando o limite da primeira componente da função quando t se aproxima de 1. A primeira componente é:
t^2 + 2t - 32t - 2
Podemos simplificar o numerador:
t^2 + 2t - 3 = (t + 3)(t - 1)
E o denominador:
2t - 2 = 2(t - 1)
Então,
t^2 + 2t - 32t - 2 = (t + 3)(t - 1)2(t - 1) = t + 32
Assim, o limite quando t se aproxima de 1 é:
limt to 1 t + 32 = 1 + 32 = 2

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da segunda componente da função:
raizt - 1t - 1
Este limite apresenta uma forma indeterminada 0/0 quando substituímos t = 1. Para resolver, podemos racionalizar o numerador multiplicando por raizt + 1 tanto no numerador quanto no denominador:
raizt - 1t - 1 cdot raizt + 1raizt + 1 = t - 1(t - 1)(raizt + 1) = 1raizt + 1
Agora, calculamos o limite:
limt to 1 1raizt + 1 = 11 + 1 = 12

Passo 4

Por fim, vamos calcular o limite da terceira componente:
t^3 + 2t - 3t^4 + t^3 - 2t^2
Primeiro, vamos fatorar o numerador e o denominador.
Para o numerador t^3 + 2t - 3, testamos possíveis raízes e encontramos que t=1 é uma raiz. Então, podemos fatorar:
t^3 + 2t - 3 = (t - 1)(t^2 + t + 3)
Para o denominador t^4 + t^3 - 2t^2, podemos fatorar por t^2:
t^4 + t^3 - 2t^2 = t^2(t^2 + t - 2) = t^2(t + 2)(t - 1)
Agora, substituímos na fração:
(t - 1)(t^2 + t + 3)t^2(t + 2)(t - 1) = t^2 + t + 3t^2(t + 2)
Agora, calculamos o limite:
limt to 1 t^2 + t + 3t^2(t + 2) = 1 + 1 + 31 cdot (1 + 2) = 53

Resposta

Como os limites das três componentes quando t se aproxima de 1 são iguais aos valores da função em t=1, podemos concluir que a função vetorial f(t) é contínua no ponto t0 = 1.

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