Dada a seguinte definição: Uma função vetorial , definida em um intervalo , é contínua em , se
Verifique se a função vetorial é contínua no ponto , onde e t0=1.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma função vetorial f(t) que é definida por partes, e queremos verificar se ela é contínua no ponto t0 = 1. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções vetoriais, que basicamente diz que uma função é contínua em t0 se o limite dela quando t se aproxima de t0 é igual ao valor da função em t0. Vamos precisar calcular os limites das componentes da função quando t se aproxima de 1 e comparar com os valores dados em t=1.
Passo 2
Vamos começar calculando o limite da primeira componente da função quando t se aproxima de 1. A primeira componente é:
Agora, vamos calcular o limite da segunda componente da função:
raizt - 1t - 1
Este limite apresenta uma forma indeterminada 0/0 quando substituímos t = 1. Para resolver, podemos racionalizar o numerador multiplicando por raizt + 1 tanto no numerador quanto no denominador:
Como os limites das três componentes quando t se aproxima de 1 são iguais aos valores da função em t=1, podemos concluir que a função vetorial f(t) é contínua no ponto t0 = 1.