Dadas as funções f(t)=(t, 1, t^2), g(t)=(t+1, t^2-4t-2, 5 t-4) e h(t)=(e^t, t^2+2,0), calcule:
lim t 0(f(t) times g(t))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando tende a 0 do produto vetorial entre as funções vetoriais e . Estamos lidando com produto vetorial de vetores no espaço tridimensional e limites de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular o produto vetorial e como aplicar o limite em funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que é o produto vetorial. É uma operação entre dois vetores no espaço tridimensional que resulta em outro vetor perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para calcular o produto vetorial de dois vetores A times B = ( Ay Bz - Az By, Az Bx - Ax Bz, Ax By - Ay Bx ) e é:

Passo 3

Vamos calcular o limite de f(0) = (0, 1, 0^2) = (0, 1, 0) quando g(0) = (0 + 1, 0^2 - 40 - 2, 5 cdot 0 - 4) = (1, -4-2, -4) = (1, 2, -4) tende a 0. Primeiro, substituímos nas funções e :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula do produto vetorial usando f(0) times g(0) = (1 cdot (-4) - 0 cdot 2, 0 cdot 1 - 0 cdot (-4), 0 cdot 2 - 1 cdot 1) = (-4, 0, -1) e :

Resposta

O limite quando tende a 0 de é .

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