Dadas as funções f(t)=(t, 1, t^2), g(t)=(t+1, t^2-4t-2, 5 t-4) e h(t)=(e^t, t^2+2,0), calcule:
lim t 0(f(t) times h(t))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o limite, quando se aproxima de 0, do produto vetorial entre as funções vetoriais e . A gente vai precisar saber como calcular o produto vetorial de dois vetores e aplicar o conceito de limite em cada componente resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial de dois vetores. Se temos dois vetores a times b = ( a2 b3 - a3 b2, a3 b1 - a1 b3, a1 b2 - a2 b1 ) e , o produto vetorial é dado por:

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso nas nossas funções:
f(t) = (t, 1, t^2)
h(t) = (e^t, t^2 + 2, 0)
Calculando cada componente do produto vetorial:
  1. Primeira componente:
1 cdot 0 - t^2 cdot (t^2 + 2) = -t^4 - 2t^2
  1. Segunda componente:
t^2 cdot e^t - t cdot 0 = t^2 e^t
  1. Terceira componente:
t cdot (t^2 + 2) - 1 cdot e^t = t^3 + 2t - e^t
Então, o produto vetorial fica:
f(t) times h(t) = ( -t^4 - 2t^2, t^2 e^t, t^3 + 2t - e^t )

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de cada componente quando limt to 0 (-t^4 - 2t^2) = -0 - 0 = 0 tende a 0:
  1. Primeira componente:
limt to 0 (t^2 e^t) = 0 cdot 1 = 0
  1. Segunda componente:
limt to 0 (t^3 + 2t - e^t) = 0 + 0 - 1 = -1
(Lembrando que )
  1. Terceira componente:
(Novamente, )

Resposta

O limite é .

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