Dadas as funções f(t)=(t, 1, t^2), g(t)=(t+1, t^2-4t-2, 5 t-4) e h(t)=(e^t, t^2+2,0), calcule:
lim t 0(g(t) times h(t))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o limite de um produto vetorial entre duas funções vetoriais quando se aproxima de 0. A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, especificamente o conceito de produto vetorial e limites de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites e como fazer o produto vetorial entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o limite de uma função vetorial é simplesmente o limite de cada uma das suas componentes. Ou seja, se tivermos duas funções vetoriais e , o limite de quando tende a 0 será o produto vetorial dos limites de e individualmente, desde que esses limites existam.

Passo 3

Vamos calcular os limites das funções limt to 0 g(t) = (0+1, 0^2-40-2, 5 times 0 -4) = (1, -4-2, -4) = (1, 2, -4) e limt to 0 h(t) = (e^0, 0^2+2, 0) = (1, 2, 0) quando tende a 0.
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial entre os vetores resultantes dos limites:
g(0) times h(0) = (1, 2, -4) times (1, 2, 0)
O produto vetorial entre dois vetores a times b = ( a2 b3 - a3 b2, , a3 b1 - a1 b3, , a1 b2 - a2 b1 ) e g(0) times h(0) = ( 2 times 0 - (-4) times 2, , (-4) times 1 - 1 times 0, , 1 times 2 - 2 times 1 ) é dado por:
= ( 0 + 8, , -4 - 0, , 2 - 2 )
Aplicando isso aos nossos vetores:
= ( 8, -4, 0 )

Resposta

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