Dada a seguinte definição: Uma função vetorial , definida em um intervalo , é contínua em , se
Verifique se a função vetorial é contínua no ponto , onde e t0=1.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre funções vetoriais e continuidade. O enunciado nos pede para verificar se a função vetorial f(t) é contínua no ponto t = t0 = 1. Para isso, a gente vai usar a definição de continuidade para funções vetoriais, que envolve calcular o limite da função quando t se aproxima de t0 e comparar com o valor da função nesse ponto. Vamos precisar analisar cada componente da função f(t) separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função f(t) de forma mais clara:
f(t) = (dfract^2 + 2t - 32t - 2, dfracraizt - 1t - 1, dfract^3 + 2t - 3t^4 + t^3 - 2t^2), & se t neq 1 (2, dfrac12, 2), & se t = 1
Vamos analisar cada componente separadamente para calcular o limite quando t se aproxima de 1.
Passo 3
Primeira Componente: dfract^2 + 2t - 32t - 2
Vamos simplificar essa fração:
Numerador: t^2 + 2t - 3 pode ser fatorado:
t^2 + 2t - 3 = (t + 3)(t - 1)
Denominador: 2t - 2 = 2(t - 1)
Então, a fração fica:
dfrac(t + 3)(t - 1)2(t - 1) = dfract + 32, quando t neq 1
Agora, calculamos o limite quando t se aproxima de 1:
limt to 1 dfract + 32 = dfrac1 + 32 = 2
Passo 4
Segunda Componente: dfracraizt - 1t - 1
Essa expressão se assemelha a uma derivada. Vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador para simplificar: