Dada a seguinte definição: Uma função vetorial f=f(t), definida em um intervalo I, é contínua em t0, se
lim t t0 f(t)=f(t0)
Verifique se a função vetorial f é contínua no ponto t=t0, onde
f(t)=l(t^2+2 t-32 t-2, raizt-1t-1, t^3+2 t-3t^4+t^3-2 t^2), se t neq 1 (2, 12, 2), se t=1 e t0=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre funções vetoriais e continuidade. O enunciado nos pede para verificar se a função vetorial f(t) é contínua no ponto t = t0 = 1. Para isso, a gente vai usar a definição de continuidade para funções vetoriais, que envolve calcular o limite da função quando t se aproxima de t0 e comparar com o valor da função nesse ponto. Vamos precisar analisar cada componente da função f(t) separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função f(t) de forma mais clara:
f(t) = (dfract^2 + 2t - 32t - 2, dfracraizt - 1t - 1, dfract^3 + 2t - 3t^4 + t^3 - 2t^2), & se t neq 1 (2, dfrac12, 2), & se t = 1
Vamos analisar cada componente separadamente para calcular o limite quando t se aproxima de 1.

Passo 3

Primeira Componente: dfract^2 + 2t - 32t - 2
Vamos simplificar essa fração:
  1. Numerador: t^2 + 2t - 3 pode ser fatorado:
    t^2 + 2t - 3 = (t + 3)(t - 1)
  2. Denominador: 2t - 2 = 2(t - 1)
Então, a fração fica:
dfrac(t + 3)(t - 1)2(t - 1) = dfract + 32, quando t neq 1
Agora, calculamos o limite quando t se aproxima de 1:
limt to 1 dfract + 32 = dfrac1 + 32 = 2

Passo 4

Segunda Componente: dfracraizt - 1t - 1
Essa expressão se assemelha a uma derivada. Vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador para simplificar:
dfracraizt - 1t - 1 times dfracraizt + 1raizt + 1 = dfrac(raizt)^2 - 1^2(t - 1)(raizt + 1) = dfract - 1(t - 1)(raizt + 1) = dfrac1raizt + 1, quando t neq 1
Agora, calculamos o limite:
limt to 1 dfrac1raizt + 1 = dfrac11 + 1 = dfrac12

Passo 5

Terceira Componente: dfract^3 + 2t - 3t^4 + t^3 - 2t^2
Vamos fatorar o numerador e o denominador:
  1. Numerador: t^3 + 2t - 3
Testando t = 1:
1^3 + 2(1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0 Rightarrow (t - 1) é fator é
Fazendo a divisão polinomial ou fatorando, temos:
t^3 + 2t - 3 = (t - 1)(t^2 + t + 3)
  1. Denominador: t^4 + t^3 - 2t^2
Fatorando:
t^4 + t^3 - 2t^2 = t^2(t^2 + t - 2) = t^2(t + 2)(t - 1)
Então, a fração fica:
dfrac(t - 1)(t^2 + t + 3)t^2(t + 2)(t - 1) = dfract^2 + t + 3t^2(t + 2), quando t neq 1
Agora, calculamos o limite:
limt to 1 dfract^2 + t + 3t^2(t + 2) = dfrac1^2 + 1 + 31^2(1 + 2) = dfrac53

Passo 6

Agora, juntando os limites das três componentes, temos:
limt to 1 f(t) = (2, dfrac12, dfrac53)
Vamos comparar com o valor da função em t = 1:
f(1) = (2, dfrac12, 2)

Passo 7

Comparando componente por componente:
  1. Primeira componente: 2 = 2
  2. Segunda componente: dfrac12 = dfrac12
  3. Terceira componente: dfrac53 neq 2
Como na terceira componente o limite é diferente do valor da função em t = 1, a função f(t) não é contínua nesse ponto.

Resposta

A função vetorial f(t) não é contínua no ponto t = 1.

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