Dada a seguinte definição: Uma função vetorial f=f(t), definida em um intervalo I, é contínua em t0, se
lim t t0 f(t)=f(t0)
Verifique se a função vetorial f é contínua no ponto t=t0, onde
f(t)=(t, t+1t-1, 2 t+32 t) e t0=2.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial e queremos verificar se ela é contínua no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de limite e continuidade, verificando se o limite da função quando se aproxima de 2 é igual ao valor da função em .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto f(2) = (2, 2+12-1, 2 cdot 2 + 32 cdot 2) = (2, 31, 74) = (2, 3, 74) . Substituindo por 2 em cada componente da função, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função quando limt to 2 t = 2 se aproxima de 2. Como a função é vetorial, calculamos o limite de cada componente separadamente.
  1. Primeira componente:
limt to 2 t+1t-1 = 2+12-1 = 31 = 3
  1. Segunda componente:
limt to 2 2t+32t = 2 cdot 2 + 32 cdot 2 = 74
  1. Terceira componente:

Passo 4

Comparamos os limites de cada componente com os valores calculados em limt to 2 f(t) = (2, 3, 74) = f(2) :
Como o limite da função vetorial é igual ao seu valor no ponto , isso significa que a função é contínua nesse ponto.

Resposta

A função vetorial é contínua no ponto .

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