Dada a seguinte definição: Uma função vetorial f=f(t), definida em um intervalo I, é contínua em t0, se
lim t t0 f(t)=f(t0)
Verifique se a função vetorial f é contínua no ponto t=t0, onde
f(t)=l(t-3t^2-9, 5 pi, t^2+2 t-15t^2-4 t+3), se t neq 3 (16, 5 pi, 4), se t=3 e t0=3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função vetorial f(t) é contínua no ponto t = 3. Aqui estamos trabalhando com continuidade de funções vetoriais, que basicamente significa que o limite da função quando t se aproxima de 3 deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Para resolver isso, vamos calcular o limite de cada componente de f(t) quando t tende a 3 e comparar com o valor da função em t = 3.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira componente da função:
f1(t) = t - 3t^2 - 9
Perceba que o denominador pode ser fatorado:
t^2 - 9 = (t - 3)(t + 3)
Então, temos:
f1(t) = t - 3(t - 3)(t + 3) = 1t + 3 para t neq 3
Agora, calculamos o limite quando t se aproxima de 3:
limt to 3 f1(t) = limt to 3 1t + 3 = 16

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente:
f2(t) = 5pi
Essa é uma função constante, então o limite é simplesmente o próprio valor:
limt to 3 f2(t) = 5pi

Passo 4

Por fim, vamos analisar a terceira componente:
f3(t) = t^2 + 2t - 15t^2 - 4t + 3
Vamos fatorar o numerador e o denominador:
Numerador:
t^2 + 2t - 15 = (t + 5)(t - 3)
Denominador:
t^2 - 4t + 3 = (t - 1)(t - 3)
Então, temos:
f3(t) = (t + 5)(t - 3)(t - 1)(t - 3) = t + 5t - 1 para t neq 3
Calculando o limite:
limt to 3 f3(t) = limt to 3 t + 5t - 1 = 82 = 4

Resposta

Como o limite de cada componente de f(t) quando t se aproxima de 3 é igual ao valor da função em t = 3, concluímos que a função vetorial f é contínua no ponto t = 3.

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