Determine as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente tem uma função de duas variáveis,
, e precisamos encontrar as derivadas parciais de terceira ordem, especificamente
e
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que são as derivadas em relação a uma das variáveis mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
. Isso significa que vamos derivar
considerando
como uma constante. A função é:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
. Isso significa que agora consideramos
como constante:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Vamos derivar novamente
em relação a
para obter
:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
diretamente para começar a calcular
. A função original é:
Derivando em relação a
:
Passo 6
Vamos derivar
em relação a
para obter
:
Derivando em relação a
:
Passo 7
Finalmente, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Derivando em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais indicadas são: