Determine as derivadas parciais indicadas.
f(r, s, t) = r ln(r s^2 t^3) ; f_r s s , f_r s t

Passo 1

Vamos lá, o exercício pede para determinar algumas derivadas parciais da função . Isso está dentro do conteúdo de cálculo de derivadas parciais de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia, além de saber derivar funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Podemos usar propriedades dos logaritmos:
Então, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos expandir a expressão:

Passo 4

Vamos calcular as primeiras derivadas parciais necessárias para chegar às derivadas de segunda e terceira ordem. Primeiro, a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Em seguida, a derivada parcial de em relação a :

Passo 6

E a derivada parcial de em relação a :

Passo 7

Agora, vamos calcular , que significa derivar primeiro em relação a e depois duas vezes em relação a .
Primeiro, já temos . Vamos derivar em relação a :
Agora, derivamos novamente em relação a :

Passo 8

Vamos calcular , que significa derivar primeiro em relação a , depois em relação a , e finalmente em relação a .
Já sabemos que . Agora, derivamos isso em relação a :
Como não há na expressão , a derivada é zero.

Resposta

As derivadas parciais indicadas são:

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