Determine as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
Vamos lá, o exercício pede para determinar algumas derivadas parciais da função
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo de derivadas parciais de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia, além de saber derivar funções logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
para facilitar a derivação. Podemos usar propriedades dos logaritmos:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos expandir a expressão:
Passo 4
Vamos calcular as primeiras derivadas parciais necessárias para chegar às derivadas de segunda e terceira ordem. Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Em seguida, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 6
E a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 7
Agora, vamos calcular
, que significa derivar
primeiro em relação a
e depois duas vezes em relação a
.
Primeiro, já temos
. Vamos derivar
em relação a
:
Agora, derivamos
novamente em relação a
:
Passo 8
Vamos calcular
, que significa derivar
primeiro em relação a
, depois em relação a
, e finalmente em relação a
.
Já sabemos que
. Agora, derivamos isso em relação a
:
Como não há
na expressão
, a derivada é zero.
Resposta
As derivadas parciais indicadas são: