Dada a seguinte equação
d^2d z^2 E=mu epsilon partial^2 Epartial t^2+mu g partial Epartial t
Mostre que a solução é
¡u
E=E0 e^i(tildek z-omega t)
onde E0 é uma constante e tildek satisfaz:
tildek stackrel2= mu epsilon omega^2+i mu g omega
Em seguida escreva tildek como
tildek=k+i kappa
com k>0, kappa>0 e mostre que
k=omega raizepsilon mu2[raiz1+(gepsilon omega)^2+1]^1 / 2, kappa=omega raizepsilon mu2[raiz1+(gepsilon omega)^2-1]^1 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que envolve derivadas de segunda ordem em relação a e derivadas parciais em relação ao tempo . O objetivo é encontrar uma solução para na forma de uma exponencial complexa e, depois, descobrir os valores de e que satisfazem a equação dada. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e ondas harmônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução E = E0 e^i(tildek z - omega t) pode ser escrita como uma exponencial complexa da seguinte forma:
Aqui, é uma constante, é um número complexo que precisamos determinar, e é a frequência angular da onda.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de d^2Edz^2 = (itildek)^2 E = -tildek^2 E necessárias para substituir na equação original. Primeiro, a segunda derivada de partial Epartial t = -iomega E em relação a partial^2Epartial t^2 = -omega^2 E :
Em seguida, a primeira derivada de em relação a :
E a segunda derivada de em relação a :

Passo 4

Vamos substituir essas derivadas na equação original:
-tildek^2 E = mu epsilon (-omega^2 E) + mu g (-iomega E)
Simplificando:
-tildek^2 = -mu epsilon omega^2 - i mu g omega
Multiplicando ambos os lados por tildek^2 = mu epsilon omega^2 + i mu g omega :
Isso nos dá a relação para .

Passo 5

Queremos expressar tildek = k + ikappa como tildek^2 = (k + ikappa)^2 = k^2 - kappa^2 + 2ikkappa , onde e . Vamos fazer essa substituição:
Agora, elevamos ao quadrado:
Sabemos que isso deve ser igual a .

Passo 6

Igualando as partes reais e imaginárias, temos:
k^2 - kappa^2 = mu epsilon omega^2 (parte real)
2kkappa = mu g omega (parte imaginária) á
Vamos resolver esse sistema de equações. Da segunda equação, podemos expressar kappa = mu g omega2k em termos de k^2 - (mu g omega2k)^2 = mu epsilon omega^2 :
k^4 - (mu g omega2)^2 = mu epsilon omega^2 k^2
Substituindo isso na primeira equação:
k^4 - mu epsilon omega^2 k^2 - (mu g omega2)^2 = 0
Multiplicando ambos os lados por :
Rearranjando:
Isso é uma equação quadrática em . Resolvendo para e, posteriormente, para , obtemos as expressões desejadas para e .

Resposta

Assim, as soluções para k = omega raizepsilon mu2[raiz1+(gepsilon omega)^2+1]^1 / 2, kappa = omega raizepsilon mu2[raiz1+(gepsilon omega)^2-1]^1 / 2 e são:

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