Dada a seguinte equação
Mostre que a solução é
¡u
onde
é uma constante e
satisfaz:
Em seguida escreva
como
com
e mostre que
¡u
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que envolve derivadas de segunda ordem em relação a
e derivadas parciais em relação ao tempo
. O objetivo é encontrar uma solução para
na forma de uma exponencial complexa e, depois, descobrir os valores de
e
que satisfazem a equação dada. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e ondas harmônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma exponencial complexa da seguinte forma:
Aqui,
é uma constante,
é um número complexo que precisamos determinar, e
é a frequência angular da onda.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
necessárias para substituir na equação original. Primeiro, a segunda derivada de
em relação a
:
Em seguida, a primeira derivada de
em relação a
:
E a segunda derivada de
em relação a
:
Passo 4
Vamos substituir essas derivadas na equação original:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isso nos dá a relação para
.
Passo 5
Queremos expressar
como
, onde
e
. Vamos fazer essa substituição:
Agora, elevamos
ao quadrado:
Sabemos que isso deve ser igual a
.
Passo 6
Igualando as partes reais e imaginárias, temos:
Vamos resolver esse sistema de equações. Da segunda equação, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo isso na primeira equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Rearranjando:
Isso é uma equação quadrática em
. Resolvendo para
e, posteriormente, para
, obtemos as expressões desejadas para
e
.
Resposta
Assim, as soluções para
e
são: