Dada a seguinte equação
Mostre que a solução é
¡u
onde é uma constante e satisfaz:
Em seguida escreva como
com e mostre que

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que envolve derivadas de segunda ordem em relação a e derivadas parciais em relação ao tempo . O objetivo é encontrar uma solução para na forma de uma exponencial complexa e, depois, descobrir os valores de e que satisfazem a equação dada. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e ondas harmônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma exponencial complexa da seguinte forma:
Aqui, é uma constante, é um número complexo que precisamos determinar, e é a frequência angular da onda.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de necessárias para substituir na equação original. Primeiro, a segunda derivada de em relação a :
Em seguida, a primeira derivada de em relação a :
E a segunda derivada de em relação a :

Passo 4

Vamos substituir essas derivadas na equação original:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :
Isso nos dá a relação para .

Passo 5

Queremos expressar como , onde e . Vamos fazer essa substituição:
Agora, elevamos ao quadrado:
Sabemos que isso deve ser igual a .

Passo 6

Igualando as partes reais e imaginárias, temos:
á
Vamos resolver esse sistema de equações. Da segunda equação, podemos expressar em termos de :
Substituindo isso na primeira equação:
Multiplicando ambos os lados por :
Rearranjando:
Isso é uma equação quadrática em . Resolvendo para e, posteriormente, para , obtemos as expressões desejadas para e .

Resposta

Assim, as soluções para e são:

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Questão 02 Faça o esboço de um gráfico com domínio em todos os números reais, que passe pela origem e que satisfaça as seguintes condições: (Valor: 0,50 ponto)
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