Questão 01 Uma quadra para prática de esportes consiste em uma região retangular com um semicírculo em cada extremidade (Figura 1). O perímetro da quadra deve ter 200 m . Encontre as dimensões que maximizem a área da região retangular. (Valor: 2,5 pontos)
Figura 1 Quadra de esportes.
Passo 1
Vamos resolver um problema de otimização onde temos uma quadra de esportes que é formada por uma parte retangular com semicírculos em cada extremidade. O perímetro total dessa quadra é de 200 metros. Nosso objetivo é encontrar as dimensões da parte retangular que vão maximizar a sua área. Para isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo básico.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis. Vamos chamar o comprimento da parte retangular de
e a largura de
. Como há um semicírculo em cada extremidade, o diâmetro do semicírculo é igual à largura
. Portanto, o raio
dos semicírculos é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o perímetro total da quadra. O perímetro inclui os dois lados do retângulo e os dois semicírculos. A fórmula do perímetro será:
Substituindo
por
:
Passo 4
Queremos maximizar a área da parte retangular, que é dada por:
Mas precisamos relacionar
com uma única variável. Vamos resolver a equação do perímetro para
:
Agora, substituímos
na fórmula da área:
Passo 5
Para encontrar o valor de
que maximiza a área, derivamos a função
em relação a
e igualamos a zero:
Passo 6
Agora que temos
, substituímos de volta para encontrar
:
Resposta
As dimensões que maximizam a área da região retangular são:
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Dada a seguinte equação
Mostre que a solução é
¡u
¡u
onde
é uma constante e
satisfaz:
Em seguida escreva
como
com
e mostre que
Use
para verificar se a seguinte série numérica converge ou não(justifique sua resposta):
Questão 02 Faça o esboço de um gráfico com domínio em todos os números reais, que passe pela origem e que satisfaça as seguintes condições: (Valor: 0,50 ponto)
|
|
|
- | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
- | + | + | - | |||||
|
+ | - | + | - |
Determine
e
.