Questão 01 Uma quadra para prática de esportes consiste em uma região retangular com um semicírculo em cada extremidade (Figura 1). O perímetro da quadra deve ter 200 m . Encontre as dimensões que maximizem a área da região retangular. (Valor: 2,5 pontos)
Figura 1 Quadra de esportes.

Passo 1

Vamos resolver um problema de otimização onde temos uma quadra de esportes que é formada por uma parte retangular com semicírculos em cada extremidade. O perímetro total dessa quadra é de 200 metros. Nosso objetivo é encontrar as dimensões da parte retangular que vão maximizar a sua área. Para isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo básico.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis. Vamos chamar o comprimento da parte retangular de e a largura de . Como há um semicírculo em cada extremidade, o diâmetro do semicírculo é igual à largura . Portanto, o raio dos semicírculos é .

Passo 3

Agora, vamos calcular o perímetro total da quadra. O perímetro inclui os dois lados do retângulo e os dois semicírculos. A fórmula do perímetro será:
Substituindo por :

Passo 4

Queremos maximizar a área da parte retangular, que é dada por:
Mas precisamos relacionar com uma única variável. Vamos resolver a equação do perímetro para :
Agora, substituímos na fórmula da área:

Passo 5

Para encontrar o valor de que maximiza a área, derivamos a função em relação a e igualamos a zero:

Passo 6

Agora que temos , substituímos de volta para encontrar :

Resposta

As dimensões que maximizam a área da região retangular são:

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Dada a seguinte equação
Mostre que a solução é
¡u
onde é uma constante e satisfaz:
Em seguida escreva como
com e mostre que
Use para verificar se a seguinte série numérica converge ou não(justifique sua resposta):
Questão 02 Faça o esboço de um gráfico com domínio em todos os números reais, que passe pela origem e que satisfaça as seguintes condições: (Valor: 0,50 ponto)
-
- + + -
+ - + -
Determine e .