Use
para verificar se a seguinte série numérica converge ou não(justifique sua resposta):
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se a série numérica
converge ou não. A matéria que vamos usar aqui é o Teste da Integral, que nos ajuda a determinar a convergência de séries usando integrais. Para isso, vamos precisar comparar a série com uma integral que seja mais fácil de avaliar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Integral. Esse teste afirma que, se
é uma função contínua, positiva e decrescente para
(onde
é algum número real), então a série
e a integral
convergem ou divergem juntas. Ou seja, se a integral converge, a série também converge, e se a integral diverge, a série também diverge.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa série. Temos
. Precisamos verificar se essa função atende aos requisitos do Teste da Integral:
- Continuidade: Para
, , então é contínua. - Positividade:
é positiva para . - Decrescente: À medida que
aumenta, e aumentam, então diminui.
Então, podemos usar o Teste da Integral nessa série.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral correspondente:
O enunciado nos dá a desigualdade:
Sabemos que
porque a integral de
é
, avaliada de 3 a infinito.
Passo 5
Como
e
é um número finito, isso significa que a integral
converge.
Passo 6
Pelo Teste da Integral, já que a integral correspondente à nossa série
converge, podemos concluir que a série também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Determine o conjunto de pontos de
onde
não é diferenciável:
Determine o conjunto de pontos de
onde
não é diferenciável:
Dada a seguinte equação
Mostre que a solução é
¡u
¡u
onde
é uma constante e
satisfaz:
Em seguida escreva
como
com
e mostre que
Questão 01 Uma quadra para prática de esportes consiste em uma região retangular com um semicírculo em cada extremidade (Figura 1). O perímetro da quadra deve ter 200 m . Encontre as dimensões que maximizem a área da região retangular. (Valor: 2,5 pontos)
Figura 1 Quadra de esportes.