Use integral3^infty d xx^2 ln x <= integral3^infty d xx^2=13 para verificar se a seguinte série numérica converge ou não(justifique sua resposta):
sumk=2^infty 1k^2 ln k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se a série numérica converge ou não. A matéria que vamos usar aqui é o Teste da Integral, que nos ajuda a determinar a convergência de séries usando integrais. Para isso, vamos precisar comparar a série com uma integral que seja mais fácil de avaliar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Integral. Esse teste afirma que, se é uma função contínua, positiva e decrescente para (onde é algum número real), então a série e a integral convergem ou divergem juntas. Ou seja, se a integral converge, a série também converge, e se a integral diverge, a série também diverge.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa série. Temos . Precisamos verificar se essa função atende aos requisitos do Teste da Integral:
  1. Continuidade: Para , , então é contínua.
  2. Positividade: é positiva para .
  3. Decrescente: À medida que aumenta, e aumentam, então diminui.
Então, podemos usar o Teste da Integral nessa série.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral correspondente:
integral3^infty dxx^2 ln x
O enunciado nos dá a desigualdade:
integral3^infty dxx^2 ln x <= integral3^infty dxx^2 = 13
Sabemos que porque a integral de é , avaliada de 3 a infinito.

Passo 5

Como e é um número finito, isso significa que a integral converge.

Passo 6

Pelo Teste da Integral, já que a integral correspondente à nossa série converge, podemos concluir que a série também converge.

Resposta

A série converge.

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