Determine o conjunto de pontos de
onde
não é diferenciável:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A gente tem uma função
e precisa descobrir em quais pontos do plano
essa função não é diferenciável. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciação de funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é diferenciável em um ponto se todas as suas derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto. Então, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
De maneira similar, a derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos analisar onde essas derivadas podem não existir ou não serem contínuas. O ponto crítico aqui é quando o denominador
é zero, porque dividir por zero não é definido. Isso acontece apenas quando
e
, ou seja, no ponto
.
Passo 5
Portanto, no ponto
, as derivadas parciais de
não estão bem definidas, o que indica que a função
não é diferenciável nesse ponto.
Resposta
A função
não é diferenciável apenas no ponto
de
.
Exercícios relacionados
Determine o conjunto de pontos de
onde
não é diferenciável:
Seja
Mostre que é diferenciável em
.
Mostre que
Use
para verificar se a seguinte série numérica converge ou não(justifique sua resposta):
Dada a seguinte equação
Mostre que a solução é
¡u
¡u
onde
é uma constante e
satisfaz:
Em seguida escreva
como
com
e mostre que