Dada a seguinte Equação Diferencial, responda os itens citados abaixo:
(e^(3y) - y) cos(2x) dy/dx = e^y sen(2x)
$(d) Se em d Se em temos temos, forneça a solução particular para esta situação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma equação diferencial e pede para encontrar a solução particular sabendo que quando , . Vamos usar conceitos de resolução de equações diferenciais, especificamente envolvendo separação de variáveis e integrais. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação para separar as variáveis e e depois integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada de forma mais clara:
Nosso objetivo é separar as variáveis e para conseguir integrar cada lado em relação a uma variável específica.

Passo 3

Vamos isolar :
Simplificando, temos:

Passo 4

Agora, vamos separar as variáveis e . Colocamos todos os termos com de um lado e os termos com do outro:
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão do lado esquerdo:
Então, a equação fica:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados:
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 7

Primeiro, a integral do lado esquerdo:
Agora, a integral do lado direito:

Passo 8

Colocando tudo junto:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar . Substituímos e na equação:
Sabemos que e , então:

Passo 10

Finalmente, a solução particular é a expressão geral com a constante definida:

Resposta

A solução particular da equação diferencial dada, com , é:

Exercícios relacionados

Verifique se a solução particular proposta é solução da EDO e verifica as condições iniciais (ou de contorno) correspondentes:
$(b) EDO: y
Solução proposta: EDO: y Solução proposta:
integral x sec ^2(3 x) d x
Resolvas as seguintes equações por separação de variáveis:
e (y x^2 + y) y' - x = 0
Calcule as seguintes integrais definidas
integral0^pi / 8 sen(2 x) d x