Dada a seguinte Equação Diferencial, responda os itens citados abaixo:
$(d) Se em
temos
, forneça a solução particular para esta situação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma equação diferencial e pede para encontrar a solução particular sabendo que quando
,
. Vamos usar conceitos de resolução de equações diferenciais, especificamente envolvendo separação de variáveis e integrais. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação para separar as variáveis
e
e depois integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação dada de forma mais clara:
Nosso objetivo é separar as variáveis
e
para conseguir integrar cada lado em relação a uma variável específica.
Passo 3
Vamos isolar
:
Simplificando, temos:
Passo 4
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Colocamos todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão do lado esquerdo:
Então, a equação fica:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 7
Primeiro, a integral do lado esquerdo:
Agora, a integral do lado direito:
Passo 8
Colocando tudo junto:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
. Substituímos
e
na equação:
Sabemos que
e
, então:
Passo 10
Finalmente, a solução particular é a expressão geral com a constante
definida:
Resposta
A solução particular da equação diferencial dada, com
, é:
Exercícios relacionados
Verifique se a solução particular proposta é solução da EDO e verifica as condições iniciais (ou de contorno) correspondentes:
$(b) EDO: y
Solução proposta:
$(b) EDO: y
Solução proposta:
Resolvas as seguintes equações por separação de variáveis:
Calcule as seguintes integrais definidas