integral x sec ^2(3 x) d x

Passo 1

Então, a gente vai resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver essa integral, vamos precisar usar a técnica de integração por partes e também saber derivar e integrar funções trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes, que é baseada na regra do produto da derivada. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher o que será e o que será . Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples quando derivada, e como o restante.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
u = x Rightarrow du = dx
dv = sec^2(3x) , dx Rightarrow v = integral sec^2(3x) , dx

Passo 4

Agora, precisamos calcular integral sec^2(k x) , dx = tan(k x)k + C . Sabemos que:
v = integral sec^2(3x) , dx = tan(3x)3
Aplicando isso:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral x sec^2(3x) , dx = u v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= x cdot tan(3x)3 - integral tan(3x)3 cdot dx

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
= x tan(3x)3 - 13 integral tan(3x) , dx
Agora, precisamos resolver a integral .

Passo 7

Sabemos que:
integral tan(k x) , dx = -ln|cos(k x)|k + C
Aplicando isso:
integral tan(3x) , dx = -ln|cos(3x)|3 + C

Passo 8

Substituindo de volta na expressão anterior:
x tan(3x)3 - 13 ( -ln|cos(3x)|3 ) + C
Simplificando:
= x tan(3x)3 + ln|cos(3x)|9 + C

Resposta

A integral x tan(3x)3 + ln|cos(3x)|9 + C é igual a:

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Resolvas as seguintes equações por separação de variáveis:
dy^2 - 1 - (2y + xy)y' = 0
Dada a seguinte Equação Diferencial, responda os itens citados abaixo:
(e^(3y) - y) cos(2x) dy/dx = e^y sen(2x)
$© A solução apresenta no item (b) é explícita ou implícita?
Verifique se a solução particular proposta é solução da EDO e verifica as condições iniciais (ou de contorno) correspondentes:
$(b) EDO: y
Solução proposta: EDO: y Solução proposta:
Dada a seguinte Equação Diferencial, responda os itens citados abaixo:
(e^(3y) - y) cos(2x) dy/dx = e^y sen(2x)
$(d) Se em d Se em temos temos, forneça a solução particular para esta situação.