Resolvas as seguintes equações por separação de variáveis:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação usando separação de variáveis. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para resolver, vamos separar as variáveis
e
para integrar cada uma delas de forma independente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar
:
Adicionando
em ambos os lados:
Agora, fatorando
no lado esquerdo:
Passo 3
Queremos separar as variáveis
e
. Para isso, vamos dividir ambos os lados por
:
Multiplicando ambos os lados por
e
:
Passo 4
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados:
Vamos resolver cada integral:
-
Integral da esquerda:
-
Integral da direita:Vamos fazer uma substituição
, então , ou seja, . Assim:
Passo 5
Juntando as integrais e as constantes de integração (
):
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Dada a seguinte Equação Diferencial, responda os itens citados abaixo:
$(d) Se em
temos
, forneça a solução particular para esta situação.
Verifique se a solução particular proposta é solução da EDO e verifica as condições iniciais (ou de contorno) correspondentes:
$(b) EDO: y
Solução proposta:
$(b) EDO: y
Solução proposta:
Calcule as seguintes integrais definidas
Dada a seguinte Equação Diferencial, responda os itens citados abaixo:
$(b) Forneça a solução geral da equação diferencial;