Dada a seguinte Equação Diferencial, responda os itens citados abaixo:
$(b) Forneça a solução geral da equação diferencial;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial e precisa encontrar a solução geral dela. O tema aqui é Equações Diferenciais, e para resolver vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração. Vamos destrinchar isso passo a passo para deixar tudo bem claro.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação que você forneceu:
Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação. Para isso, vamos tentar separar as variáveis, ou seja, arrumar a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro.
Passo 3
Vamos começar dividindo ambos os lados da equação por
:
Sabemos que
, então podemos simplificar:
Passo 4
Agora, vamos rearranjar a equação para isolar
:
Essa forma ainda não separa bem as variáveis
e
, então vamos tentar manipular um pouco mais.
Passo 5
Vamos reescrever a equação de modo que termos com
fiquem de um lado e termos com
fiquem do outro. Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando a fração no lado esquerdo:
Passo 6
Agora que conseguimos separar as variáveis, podemos integrar ambos os lados da equação:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 7
Primeiro, vamos integrar o lado esquerdo:
A primeira integral é direta:
Para a segunda integral, podemos usar integração por partes, onde escolhemos:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a fórmula de integração por partes (
):
Portanto:
Passo 8
Agora, juntando os resultados das integrais do lado esquerdo:
Passo 9
Vamos resolver a integral do lado direito:
Sabemos que
. Nesse caso,
, então
, e a integral fica:
Passo 10
Agora, juntando tudo:
Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde
é apenas uma constante de integração ajustada.
Passo 11
Agora, isolamos a constante:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante de integração.
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!
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