Dada a seguinte Equação Diferencial, responda os itens citados abaixo:
(e^(3y) - y) cos(2x) dy/dx = e^y sen(2x)
$(b) Forneça a solução geral da equação diferencial;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial e precisa encontrar a solução geral dela. O tema aqui é Equações Diferenciais, e para resolver vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração. Vamos destrinchar isso passo a passo para deixar tudo bem claro.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação que você forneceu:
Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação. Para isso, vamos tentar separar as variáveis, ou seja, arrumar a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com fiquem do outro.

Passo 3

Vamos começar dividindo ambos os lados da equação por :
Sabemos que , então podemos simplificar:

Passo 4

Agora, vamos rearranjar a equação para isolar :
Essa forma ainda não separa bem as variáveis e , então vamos tentar manipular um pouco mais.

Passo 5

Vamos reescrever a equação de modo que termos com fiquem de um lado e termos com fiquem do outro. Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando a fração no lado esquerdo:

Passo 6

Agora que conseguimos separar as variáveis, podemos integrar ambos os lados da equação:
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 7

Primeiro, vamos integrar o lado esquerdo:
A primeira integral é direta:
Para a segunda integral, podemos usar integração por partes, onde escolhemos:
  •  ⇒ 
  •  ⇒ 
Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):
Portanto:

Passo 8

Agora, juntando os resultados das integrais do lado esquerdo:

Passo 9

Vamos resolver a integral do lado direito:
Sabemos que . Nesse caso, , então , e a integral fica:

Passo 10

Agora, juntando tudo:
Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde é apenas uma constante de integração ajustada.

Passo 11

Agora, isolamos a constante:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante de integração.

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